Bakterielles Wachstum - e-Funktionen [ehemals: Klausur von 1984 haben keinen plan!!!]

11.02.2007, 10:27

chris06

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Bakterielles Wachstum - e-Funktionen [ehemals: Klausur von 1984 haben keinen plan!!!]

Hi, also wir habe in der schule so ne ganz tolle Aufgabe aufbekommen von 1984

vielleicht kann mir ja einer dabei helfen die zu lösen oder ein paar hinweise geben damit ich die Aufgabe lösen kann.

Hier ist die ganze Aufgabe, aber a) habe ich schon gelöst wo ich nicht weiter komme ist b) und da sich alle Aufgaben auf die vorhergehende berufen brauche ich unbedingt b)

Die Funktionen f und g sind gegeben durch f(t) = e^8 – e^-t; t e R und g(t) = e^4 – e^t; t e R.

Sie beschreiben näherungsweise die Anzahlen der Bakterien zweier Kulturen Bf und Bg, Dabei gibt t die Zeit in Stunden nach Beginn der Beobachtungen an.

a)

Zeichne das Schaubild von f im Bereich 0<t<4.
(1 Stunde = 2 cm; 1 000 Bakterien = 2 cm)
Nach wieviel Stunden sind in Bg ebenso viele Bakterien vorhanden wie in Bf zu Beginn der Beobachtung?
Zu welchem Zeitpunkt t1 enthalten beide Kulturen gleich viele Bakterien?
Zeige, daß für alle a < 2 beide Kulturen zusammen zum Zeitpunkt t1 + a ebenso viele Bakterien enthalten wie zum Zeitpunkt t1 -a.

b)

Für t>4 soll die Anzahl der Bakterien der Kultur Bf durch eine lineare Funktion h beschrieben werden, wobei die Geschwindigkeit h'(t) des Absterbens der Bakterien mit f'(4) übereinstimmt und h(4)=f(4) ist.
Bestimme h(t).
Zu welchem Zeitpunkt t2 ist die Kultur Bf demnach ausgestorben?

c)

Um einen Mittelwert in für die Bakterienzahl aus Bf über dem Zeitintervall
0<t<t2 zu bestimmen, errechnet man zunächst den Inhalt des zwischen der t-Achse und dem Schaubild von f für 0<t<4 und dem Schaubild von h für 4<t<t2 gelegenen Flächenstücks.
Dieses Flächenstück wird durch ein inhaltsgleiches Rechteck ersetzt, dessen eine Seite der Abschnitt 0<t<t2 der
t-Achse ist.

Berechne den gesuchten Mittelwert m als Höhe dieses Rechtecks.

d)

Berechne entsprechend für das Zeitintervall 0<t<t1 um wie viel im Mittel die Anzahl der Bakterien aus Bf größer ist als die Anzahl aus Bg.

ihr braucht mir jetzt nicht die ganze Aufgabe lösen, aber es währe toll wenn mir jemand einen hinweiß geben könnte wie man das lösen kann.

11.02.2007, 10:36

n!

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die b) ist nicht so schwer. Du musst einen allgemeinen Ansatz für eine lineare Funktion benutzen und daraus die Koeffizienten berechnen. Die nötigen zwei Bedingungen stecken in den Angaben drin

11.02.2007, 10:44

chris06

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heißt das wenn ich die 1. Ableitung von f(t) mache das ich dann h(t) verwirrt

verwirrt

habe, aber das würde ja bedeuten das die beiden Funktionen gleich sind aber das kann ja nicht sein oder? Hammer

Hammer

11.02.2007, 11:44

n!

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der Ansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$

und die beiden Bedinungen lauten:

$\begin{eqnarray*} f(4)=ax+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(4)=ax+b \end{eqnarray*}$

Ermittle nun a und b

11.02.2007, 13:53

kiste

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Zitat:

Original von n!
und die beiden Bedinungen lauten:

$\begin{eqnarray*} f(4)=ax+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(4)=ax+b \end{eqnarray*}$

Es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} f'(4)=a \end{eqnarray*}$

11.02.2007, 14:21

babelfish

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RE: Klausur von 1984 haben keinen plan!!!
Das gehört eindeutig in die Analysis und nicht in das Klausurenforum!

=> verschoben!

Des Weiteren habe ich den *Titel geändert*, bitte achte demnächst darauf, einen aussagekräftigen Titel zu wählen!

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11.02.2007, 14:51

chris06

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aber irgendwie ist mir immer noch kein licht aufgegangen unglücklich

unglücklich

traurig

weiß vielleicht einer was? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.02.2007, 15:11

kiste

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Wie ist den die erste Ableitung der Funktion f?
Und was für einen Wert gibt es wenn du 4 in f einsetzt, bzw. in die erste Ableitung von f?

11.02.2007, 15:20

chris06

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die 1. Ableitung von f(x) ist

f'(x)=e^8*(-e^-t)

und wenn ich dann 4 einsetze kommt

f'(4)=-e^4 raus oder?

11.02.2007, 15:37

kiste

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Die Ableitung ist falsch dementsprechend auch f'(4).
Beachte: e^8 ist konstant.

Und was ist f(4)?

11.02.2007, 15:49

chris06

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f(x)=e^8*e^-t

Ableitung von f(x)

f '(x)=e^8*(-e^-t)

richtig?

4 einsetzen in f(x) und f '(x)

f(4)=e^8*e^-t=e^4

f '(4)=e^8*(-e^-4)=-e^4

richtig?

11.02.2007, 15:55

kiste

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Heißt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^8\cdot -e^{-t} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) = e^8 - e^{-t} \end{eqnarray*}$
Oben steht ersteres aber du wendest dauernd zweiteres an.

In jedem Fall ist deine Ableitung falsch. Wie hast du den die Ableitung genau berechnet?

11.02.2007, 16:04

chris06

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okay ich weiß jetzt was ich falsch gemacht habe. habe nicht die Produktregel genommen sondern einfach so gemacht Hammer

Hammer

so müsste die aber richtig sein

f '(x)=e^8*e^-t+e^8*(-e^-t)

und dann eben zusammengefasst

f '(x)=e^8-t - e^8-t

11.02.2007, 16:06

kiste

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Machs mir doch nicht so schwer.
Ist die Funktion jetzt mit * oder mit -?
Wie oben schon erwähnt ist e^8 ein konstanter Faktor also keine Produktregel, deshalb mal wieder falsch :/

11.02.2007, 16:08

chris06

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die Funktion ist mit *

11.02.2007, 16:40

chris06

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weil die Funktion ja mit * ist muss ich doch die Faktorregel anwenden oder?

f(x)=e^8*e^-t

e^8 ist konstant

e^-t --> Ableitung -e^-t oder?

11.02.2007, 16:49

kiste

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Ja jetzt stimmt es.
Von $\begin{eqnarray*} f(t) = e^8\cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung also:
$\begin{eqnarray*} f'(t) = -e^8\cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$

11.02.2007, 16:55

chris06

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okay also hätten wir das erst mal

jetzt kommt ne ganz blöde frage wozu brauch ich die Ableitung den und wie kann ich die verwenden um die Funktion h(t) zubekommen?

11.02.2007, 16:58

kiste

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h hat folgenden Ansatz:
h(t) = ax + b
Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} h'(4) = f'(4) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(4) = f(4) \end{eqnarray*}$
Jetzt setze die beiden Funktionen mal ein

11.02.2007, 17:14

chris06

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Zitat:

Original von kiste
Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} h'(4) = f'(4) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(4) = f(4) \end{eqnarray*}$

muss es nicht heißen

$\begin{eqnarray*} h'(t) = f'(4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(4) = f(4) \end{eqnarray*}$

da es ja allgemein sein soll und wir für t noch keine zahl haben oder?

11.02.2007, 17:23

kiste

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Das ist ziemlich egal ob das jetzt h'(t) oder h'(4) steht da
h'(t) = h'(4) = a

12.02.2007, 14:40

chris06

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der Ansatz ist ja
$\begin{eqnarray*} h(t)=ax*b \end{eqnarray*}$

dann ist ja die 1. Ableitung von h(t)

$\begin{eqnarray*} h'(t)=a \end{eqnarray*}$

und die 1. Ableitung von f(x)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^8*e^{-t} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann 4 in f(x) einsetze kommt

$\begin{eqnarray*} f'(4)=-e^8*e^{-4}=e^4 \end{eqnarray*}$

okay dann die beiden Funktionen gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} h'(t)=f'(4) \end{eqnarray*}$

daraus folgt, dass

$\begin{eqnarray*} a=e^4 \end{eqnarray*}$ ist

ich hoffe das ist erstmal richtig oder?

soll ich dann b mit

$\begin{eqnarray*} h(4)=f(4) \end{eqnarray*}$ ausrechnen oder wie kann man das sonst machen?

12.02.2007, 16:52

chris06

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dann setze ich einfach mal voraus das was ich vorher gerechnet habe richtig ist

dann setze ich das $\begin{eqnarray*} a=e^4 \end{eqnarray*}$ in h(t) ein das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} h(t)=e^4t+b \end{eqnarray*}$

eine Bedingung ist ja das $\begin{eqnarray*} h(4)=f(4) \end{eqnarray*}$ ist

deshalb setze ich in beide Funktionen f(x) und h(t) 4 ein und setze beide dann gleich

$\begin{eqnarray*} f(4)=e^8*e^{-4} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h(4)=e^4*4+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^8*e^{-4}=4*e^4+b \end{eqnarray*}$
dann nach b auflösen und dann erhält man für b

$\begin{eqnarray*} b=-3*e^4 \end{eqnarray*}$

und somit ist die Gleichung für h(t)

$\begin{eqnarray*} h(t)=e^4*t-3*e^4 \end{eqnarray*}$

okay oder ist das alles falsch?

und wenn die Gleichung richtig sein sollte kann man ja auch t2 ausrechnen

da ja die Zseit gesucht wird wo es keine Bakterien mehr gibt muss man die
Gleichung Null setzen und dann kommt für t2=3 raus

richtig?

18.02.2007, 11:02

markes

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Ob Konstante oder nicht bei nem Produkt ist die Ableitung mit der Produktregel zu erstellen

18.02.2007, 13:15

mYthos

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Zitat:

Original von markes
Ob Konstante oder nicht bei nem Produkt ist die Ableitung mit der Produktregel zu erstellen

Das halte ich für ein Gerücht! Schon was gehört von

$\begin{eqnarray*} (a \cdot f(x))' = a \cdot f'(x) \end{eqnarray*}$

mY+

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