Dichte bestimmen

29.11.2012, 14:04	illo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte bestimmen Meine Frage: Hallo, ich hänge gerade bei dieser Aufgabe: Betrachten sie die Funktion $\begin{eqnarray} F(x) =\begin{cases}<br /> e^{2x}, & \text{falls }x <-1\\<br /> 1/2(1+x/e), & \text{falls }-1\leq x<1\\<br /> 1-e^{-2x}, & \text{falls }x\geq 1<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ a) Sei $\begin{eqnarray} \nu = \lambda_{F} \end{eqnarray}$ das zu F gehörende Lebesgue-Stieltjes Maß. Besimmen sie eine Dichte f und ein Maß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} \nu = f \odot \mu \end{eqnarray}$ (vergleiche Satz von Radon Nikodym). b) Sei X eine Zufallsvariable mit Bildmaß $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} X \sim \nu \end{eqnarray}$ , oder gleichbedeutend $\begin{eqnarray} P(X \leq x) = F(x) \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie E(X) und Var(X). Meine Ideen: zu a) Also ich kenn den Satz von Radon Nikodym, aber heißt das, dass ich mir irgendein Maß aussuchen kann, solange gilt, dass wenn dieses Maß 0 ergibt auch das Lebesgue-Stieltjes Maß 0 ergibt. Dann könnte ich doch das Zählmaß oder das Lebesgue-Stieltjes Maß selbst als $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ hernehmen, oder? Und wie komme ich dann auf die Dichte? zu b) Ich kenne folgende Definition des Erwartungswertes: $\begin{eqnarray} E(X)= \int \! x \, d \mathbb P_{X}(x) \end{eqnarray}$ Ist das dann gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} E(X)= \int \! xF(x) \, d \lambda_{F} \end{eqnarray}$ ? Und wenn ja, welchen Teil von F(x) muss ich dann einsetzten? Vielen Dank schon mal im Voraus.
29.11.2012, 14:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun wenn es tatsächlich keine einschränkenden Vorgaben an $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ gibt, dann ist (mit deiner Symbolik) ja wohl offensichtlich $\begin{eqnarray} \nu = 1 \odot \nu \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ identisch gleich 1), womit a) erledigt ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »