Umkehraufgaben 1

29.11.2012, 15:12

Tipso

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Umkehraufgaben 1

Hallo,

Jetzt geht es ran an die Umkehraufgaben:

Voraussetzungen:

1.
Kenntnis von Kurvendiskussion und Gleichungssystemen:

Aufgabenstellung:

Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{4} x^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ enthält die Punkte P(-1/9); die Steigung der Tangente im Punkt P ist -6.

Ermittle die Funktionsgleichung f!

Als erstes müsste ich verstehen was mit dieser Angabe gemeint ist.

Was sagt mir:

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{4} x^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

Was sagt mir:

enthält die Punkte P(-1/9); die Steigung der Tangente im Punkt P ist -6.

Gesucht ist b und c?

Mein Versuch:

Ich habe einen Punkt also handelt es sich um Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte. Da ich eine Steigung habe, muss es sich um einen Wendepunkt handeln? Bzw. um die Steigung der Tangente die durch den Wendepunkt geht?

lg

29.11.2012, 16:40

Mathewolf

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RE: Umkehraufgaben 1

Zitat:

Original von Tipso
Ich habe einen Punkt also handelt es sich um Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte. Da ich eine Steigung habe, muss es sich um einen Wendepunkt handeln? Bzw. um die Steigung der Tangente die durch den Wendepunkt geht?

Wo steht das? Lies bitte die Aufgabe noch mal gründlich durch und notier dir, was für Imformationen im Text enthalten sind. Das hat erst mal nichts mit Mathematik zu tun, sondern nur mit reinem Textverständnis.

29.11.2012, 17:02

Tipso

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An meinem Textverständnis muss ich besonders arbeiten..

Ein beliebiger Punkt im Graphen dessen Tangente die Steigung(k) ) = -6 hat.

Was sagt mir das?

Ich habe einen Punkt und dessen Steigung.

Was kann ich damit anfangen?

-6 = x-Wert des Wendepunktes?

lg

29.11.2012, 17:53

Mathewolf

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Wo holst du dir ständig diesen Wendepunkt her. In der Aufgabe steht nichts von einem Wendepunkt.
Was gibt dir die Steigung einer Funktion in einem Punkt wieder? Die Ableitung natürlich.
Wenn dort steht

Zitat:

Der Graf der Funktion enthält die Punkte P(-1/9); die Steigung der Tangente im Punkt P ist -6.

, heißt das, dass
1. f(-1)=9 und
2. f'(-1)=-6 ist.
Das gibt dir wieder ein LGS mit zwei Unbekannten.

29.11.2012, 18:27

Tipso

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f(-1) = 9

Da wurde ja noch gar nichts abgeleitet?

y = k x + d

LGS

mit zwei Unbk..

hmm.

-1 = -6 *x + d

-1 = 9 *x + d

lg

29.11.2012, 19:59

Mathewolf

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Ja, da wurde noch nichts abgeleitet. Der Rest ist leider vollkommen falsch. Die zu ermittelnde Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac34x^2+bx+c \end{eqnarray*}$

und ihre Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac32x+b \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine quadratische Funktion und ihr Graf ist eine Parabel. Du aber arbeitest mit einer Geradengleichung. Ich möchte dir nicht zu nahe treten, aber ich gewinne den Eindruck, dass du überhaupt keinen Schimmer hast, was du da tust und warum es so getan werden soll. Wir können dir Anstöße bzw. Hilfestellung bei der Lösung von mathematischen Problemen geben, aber wir können keinen Förderunterricht leisten. Hast du schon mal darüber nachgedacht, Nachhilfe in Mathematik zu nehmen? Das würde ich dir jedenfalls anraten. Sonst wirst du baden gehen.

Also

$\begin{eqnarray*} f(-1)=9\ \Rightarrow\ \frac34-b+c=9 \end{eqnarray*}$

So, für die zweite Gleichung benötigen wor die erste Ableitung von f, denn

$\begin{eqnarray*} f'(-1)=-6\ \Rightarrow\ -\frac32+b=-6 \end{eqnarray*}$

Damit erhälst du ein LGS mit zwei Unbekannten.

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29.11.2012, 21:42

Tipso

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Jetzt verwende ich ein Verfahren um b und c mittels eines Gleichungssystemes zu lösen.

Leider kann ich mir eine Nachhilfe nicht leisten, weshalb ich mir das selber beibringen muss.

lg

29.11.2012, 21:50

Mathewolf

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Richtig, wenn du b und c bestimmt hast, dann hast du due Funktion gefunden, die die geforderten Eigenschaften aufweist.

Ja, das Geld ist dabei ein leidiges Thema. ...

29.11.2012, 22:20

Tipso

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Verstehen tue ich es nicht.

Gleichung lösen

Ich stelle b frei, von der zweiten Gleichung und setze es dann in die 1 Gleichung um c zu erhalten

$\begin{eqnarray*} f'(-1)=-6\ \Rightarrow\ -\frac32+b=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)=9\ \Rightarrow\ \frac34-b+c=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)=9\ \Rightarrow\ \frac34-\frac{9}{2} +c=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{51}{4} \end{eqnarray*}$

lg

Edit:

Vorzeichenfehler, deshalb:

$\begin{eqnarray*} b = -\frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

29.11.2012, 22:30

Tipso

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Die gesamte Lösung ist demnach:

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{4} x^2 - \frac{9x}{2} + \frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

lg

30.11.2012, 02:43

Mathewolf

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Genau

Freude

30.11.2012, 12:32

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf
Wo holst du dir ständig diesen Wendepunkt her. In der Aufgabe steht nichts von einem Wendepunkt.
Was gibt dir die Steigung einer Funktion in einem Punkt wieder? Die Ableitung natürlich.
Wenn dort steht

Zitat:

Der Graf der Funktion enthält die Punkte P(-1/9); die Steigung der Tangente im Punkt P ist -6.

, heißt das, dass
1. f(-1)=9 und
2. f'(-1)=-6 ist.
Das gibt dir wieder ein LGS mit zwei Unbekannten.

hi,

kannst du mir erklären wie und warum du darauf gekommen bist?
Wie ich es auch erlernen kann solche Umkehraufgaben zu lösen?

Links die hilfreich sind sind erwünscht.

lg

30.11.2012, 18:47

Mathewolf

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Du solltest folgendes verstanden haben:

Wie ein Funktionsgraf entsteht und wie man ihn interpretieren kann
Was die Ableitung einer Funktion ist und wie man sie geometrisch deuten kann

Schau mal hier:

Ableitung

30.11.2012, 21:00

Tipso

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Freude

25.12.2012, 21:23

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf
Du solltest folgendes verstanden haben:
[list=1]
[*]Wie ein Funktionsgraf entsteht und wie man ihn interpretieren kann

könntest du mir vielleicht einen Tipp hierfür geben?

lg

25.12.2012, 21:38

Mathewolf

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Erinnere dich mal zurück, wie ihr in der Schule Funktionsgrafen gezeichnet habt. Da habt ihr doch immer eine Wertetabelle angefertigt, nicht wahr? Die so ermittelten Wertepaare waren Koordinaten von Punkten, die ihr dann in ein passendes Koordinatensystem eingetragen habt.
So einen Funktionsgraf kann man also als eine Menge aller Punkte beschreiben, deren Koordinaten durch die Funktion gekoppelt sind.
Formal kann man diese Menge folgend niederschreiben.

$\begin{eqnarray*} \Gamma_f:=\big\{(x,y)\in\mathbb R^2\big|y=f(x)\big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Gamma_f \end{eqnarray*}$ meint hier Graf von f.

25.12.2012, 21:56

Tipso

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Zitat:

Original von Mathewolf
Erinnere dich mal zurück, wie ihr in der Schule Funktionsgrafen gezeichnet habt. Da habt ihr doch immer eine Wertetabelle angefertigt, nicht wahr? Die so ermittelten Wertepaare waren Koordinaten von Punkten, die ihr dann in ein passendes Koordinatensystem eingetragen habt.
So einen Funktionsgraf kann man also als eine Menge aller Punkte beschreiben, deren Koordinaten durch die Funktion gekoppelt sind.
Formal kann man diese Menge folgend niederschreiben.

$\begin{eqnarray*} \Gamma_f:=\big\{(x,y)\in\mathbb R^2\big|y=f(x)\big\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Gamma_f \end{eqnarray*}$ meint hier Graf von f.

Aufgrund dieser Kopplung kann ich andere Werte der Funktion berechnen.
Dabei ist interessant das ich genausoviele Gleichungen brauche wie Unbekannte.

lg

30.12.2012, 02:48

Tipso

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Hallo,

Die Aufgabe ist ja gar nicht fertig gerechnet. smile

smile

Meine Bedingungen:

y(-1) = 9

y'(-1) = -6

y''(-1) = 0

Meine Fragen:

Zitat:

Warum weiß ich das es sich bei dem Punkt P um einen WP handelt und nicht um einen Extrempunkt.

lg

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