Umkehraufgaben 2

29.11.2012, 15:35

Tipso

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Umkehraufgaben 2

Hallo,

Aufgabenstellung:

Ermittle die Funktionsgleichung f!

Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ enthält die Punkte A(-1/-3), B(1/1), C(2/4,5).

Mein Lösungsvorschlag:

Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll. Vom Gefühl würde ich sagen, dass ich es mit Null-Extrem-Wendepunkten in Verbindung bringen muss.

lg

29.11.2012, 15:58

riwe

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RE: Umkehraufgaben 2
setze einfach die 3 punkte ein smile

smile

dann hast du ein lgs in a, b und c

29.11.2012, 16:10

Tipso

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Hi,

Was ist ein lgs?
Verstehe leider nicht was du meinst mit einsetzen, da ich nicht weiß wohin ich es genau einsetzen muss und warum dorhin?

lg

29.11.2012, 16:43

Mathewolf

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LGS = Lineares Gleichungssystem

29.11.2012, 16:56

riwe

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Zitat:

Original von Tipso
Hi,

Was ist ein lgs?
Verstehe leider nicht was du meinst mit einsetzen, da ich nicht weiß wohin ich es genau einsetzen muss und warum dorhin?

lg

verwirrt

wenn A auf f(x) liegt, bedeutet das:
x=-1 und y = -3 müssen die gleichung erfüllen.....

29.11.2012, 17:05

Tipso

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y = k*x + d

A(-1/-3)

-3 = k*-1 + d

B(1/1)

1 = k*1 +d

C(2/4,5)

4,5 = k*2 + d

lg

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29.11.2012, 17:07

riwe

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wie kommst du denn darauf?
da steht doch

y = ax² + bx +c

29.11.2012, 17:17

bob123

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A(-1/-3), B(1/1), C(2/4,5)

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a - b + c = -3\\ a + b + c = 1\\ 4a + 2b + c = 4,5\\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Auflösen stellt denke ich mal keine Probleme dar... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2012, 17:19

Tipso

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Achso ich dachte es handelt sich um eine Gerade welche die Punkte A, B, C enthält.

A(-1/-3)

-3 = -1^2a + bx + c

B(1/1)

1 = 1a + bx + c

C(2/4,5)

4,5 = 2^2a + bx + c

lg

29.11.2012, 22:58

bob123

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Was hast du da bitte gerechnet? Wieso denn hoch 2a? Du musst um die Funktion f rauszubekommen jetzt doch nur noch mein angegebenes LGS lösen...

29.11.2012, 23:48

Tipso

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Zitat:

Original von bob123
A(-1/-3), B(1/1), C(2/4,5)

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a - b + c = -3\\ a + b + c = 1\\ 4a + 2b + c = 4,5\\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Auflösen stellt denke ich mal keine Probleme dar... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achso, das habe ich leider erst jetzt bemerkt.
Ich würde es gerne natürlich auch verstehen, wie du und warum die Gleichungen aufstellen konntest.

Hier kommt nach meinem Wissen nur das Gauß-Verfahren infrage.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a - b + c = 3 \\ a + b + c = 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

+(addieren=

erhalten:

2a - 2c = 4

nun Subtrahieren mit der Dritten:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 4a - 4c = 8 \\ 4a + 2b + c = 4,5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir müssen also zuerst das c, auch von der 3 Gleichung eliminieren, dies könnten wir mit der ersten oder zweiten Gleichung machen, ich nehme hierfür die Erste.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a - b + c = -3 \\ 4a + 2b + c = 4,5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

a - b + c = -3 / * 2

2a - 2b + 2c = -6

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2a - 2b + 2c = -6 \\ 4a + 2b + c = 4,5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

addieren

6a + 3c = -1,5

Nun haben wir 2 Gleichungen:

2a - 2c = 4
6a + 3c = -1,5

2a - 2c = 4 /*3

6a - 6c = 12

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6a - 6c = 12 \\ 6a + 3c = -1,5 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Subtrahieren

-9c = 13,5

-c = 1,5

c = - 1,5

Hoffe es ist zumindest soweit richtig.

lg

29.11.2012, 23:57

Tipso

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Zitat:

Original von bob123
A(-1/-3), B(1/1), C(2/4,5)

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a - b + c = -3\\ a + b + c = 1\\ 4a + 2b + c = 4,5\\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Auflösen stellt denke ich mal keine Probleme dar... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ich nun c habe, c = -1,5 gehts einfach weiter.

Ich glaube es gibt eh nur das Gauß oder das Einsetzverfahren, ich würde wieder zum Gaußigschen tendieren.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a - b - 1,5 = -3 \\ a + b - 1,5 = 1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Addieren

2a - 3 = - 2

2 a = 1

a = 1/2

in die erste Gleichung einsetzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - b - \frac{3}{2} = - 3 \end{eqnarray*}$

b = 2

Lösung:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{2} + 2x - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

lg

30.11.2012, 15:01

bob123

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a = 1/2
b = 2
c = -3/2

Sind die Lösungen des LGS, das ist also richtig.
Deine F-Gleichung nicht.
-> Du musst nur für a, b und c doch jetzt einsetzen.

Das dürftest du wohl auch so hinbekommen:

$\begin{eqnarray*} y=0,5x² + 2x - 1,5 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2} x² + 2x - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Zu der Frage, wie ich das LGS aufgestellt habe:

Wir haben die Funktionsgleichung: y=ax²+bx+c. Wir haben 3 Punkte, die auf dem Funktionsgraphen liegen. -> Wir setzen für x und y einen Punkt ein, beispielsweise A(-1/-3).

-3 = a*(-1)^2 + b*(-1) + c

Vereinfachen das:

-3 = 1a -1b +c

Da 1a = a ist, kann man die 1 weglassen -> Folge daraus: a-b+c=-3
Das machen wir auch mit den anderen Punkten und erhalten ein LGS mit 3 Stufen. Dieses kann man mit dem Taschenrechner lösen, oder per Gaußverfahren wie du gemacht hast.

30.11.2012, 15:35

Tipso

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Freude

30.11.2012, 15:36

bob123

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Hast du alles verstanden? smile

smile

30.11.2012, 15:49

Tipso

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Nein.

Big Laugh

Die Fragen kommen noch, davor will ich noch versuchen mir meine Fragen selber zu beantworten, werde mich auf jeden Fall noch melden. Freude

Freude

25.12.2012, 21:27

Tipso

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Hallo,

Warum braucht man pro Unbekannte eine Gleichung?

lg

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