Terminales Ereignis und terminale Sigma-Algebra

29.11.2012, 16:45

Mandelbrötchen

Terminales Ereignis und terminale Sigma-Algebra

Hallo zusammen,

vor kurzem habe ich zum ersten mal die Definition einer terminalen Sigma-Algebra gesehen und jetzt einige Probleme damit zu arbeiten und letztlich konkret zu zeigen, dass eine Menge Element in der terminalen Algebra ist.

Folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ Messraum und $\begin{eqnarray*} \mathrm{P} \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathit{X_n}: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{A/B} \end{eqnarray*}$ messbare Funktionen für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathit{A}:=\{\omega \in \Omega| \liminf_{n \to \infty} \ \mathit{X_n}(\omega) \ge 0\} \end{eqnarray*}$

Die Behauptung ist nun, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathit{A} \in \mathcal{A_{\infty}} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma \left( \bigcup_{k=n}^{\infty} \sigma( \mathit{X_n}) \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma( \mathit{X_m})=\{\mathit{X_m^{-1}}|\mathit{B} \in \mathcal{B} \} \end{eqnarray*}$

Folgendes habe ich nun dazu gelesen, bin mir aber nicht sicher ob bzw. warum es stimmt:

$\begin{eqnarray*} \{\omega \in \Omega| \liminf_{n \to \infty, n \ge m} \ \mathit{X_n}(\omega) \ge 0\} \in \bigcup_{k=m}^{\infty} \sigma( \mathit{X_n}) \; \forall m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Und auch direkt die nächste Frage:

Sollte dies gelten, kann ich daraus doch direkt folgern, dass $\begin{eqnarray*} \mathit{A} \end{eqnarray*}$ ein terminales Ereignis ist, oder?
Und die letzte Frage:
Wie kann ich mir die Menge $\begin{eqnarray*} \mathit{A} \end{eqnarray*}$ also vorstellen?

Vielen Dank schon mal!

Mandelbrötchen Wink

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