Integral f(z)=sqrt(z+1)*sqrt(z-1)

29.11.2012, 17:11

mimip91

Integral f(z)=sqrt(z+1)*sqrt(z-1)

Meine Frage:
Ich soll folgendes Integral berechnen:

Sei $\begin{eqnarray*} f(z)= \sqrt{z+1} \cdot \sqrt{z-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{z}:=z^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{0}:=0 \end{eqnarray*}$ . Berechne dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial K_3(0)} \! f(z) \, dz \end{eqnarray*}$

und begründe die Wohldefiniertheit

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das Integral als Kurvenintegral berechnen soll mit nem Weg. Also z.B. mit $\begin{eqnarray*} \gamma :[0,1] \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto 3 \cdot e^{2 \pi i t} \end{eqnarray*}$ . Oder muss ich da anders vorgehen??

01.12.2012, 11:25

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist, was unter der komplexen Wurzel hier zu verstehen ist. Wenn da in der Vorlesung etwas vereinbart wurde, sollte man das wissen. Solange das nicht der Fall ist, gehe ich vom Üblichen aus, daß nämlich $\begin{eqnarray*} w = \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ so bestimmt wird, daß $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}(w)>0 \end{eqnarray*}$ ist. Mit dieser Vereinbarung ist

$\begin{eqnarray*} w = \sqrt{z} \, , \ \ z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty,0] \end{eqnarray*}$

holomorph. Und somit ist auch

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sqrt{z+1} \cdot \sqrt{z-1} \, , \ \ z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty,1] \end{eqnarray*}$

holomorph. Wenn man nun ein negatives reelles $\begin{eqnarray*} z_0 = -t_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_0 > 1 \end{eqnarray*}$ betrachtet, stellt man fest, daß die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \to t_0 \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, egal, ob man sich aus der oberen oder unteren Halbebene an $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ annähert (überprüfe das). Damit kann man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in das Gebiet $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus [-1,1] \end{eqnarray*}$ holomorph fortsetzen. Die Fortsetzung wird wie üblich wieder mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Das Integral ist damit wohldefiniert. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ umfaßt den Kreisring $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ . Daher läßt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ in eine Laurentreihe entwickeln. Bei gliedweiser Integration verschwinden alle Integrale bis auf eines. So kannst du den Integralwert ermitteln.

Zur Bestimmung der Laurentreihe kann man sich zunächst auf reelle $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ beschränken. Dort kann man folgendermaßen umformen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x-1} = \sqrt{x^2 - 1} = x \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Bestimme damit die Laurentreihe. Das Ergebnis muß nach dem Identitätssatz bei Ersetzung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ gelten.

03.12.2012, 00:08

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Damit kann man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in das Gebiet $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus [-1,1] \end{eqnarray*}$ holomorph fortsetzen. Die Fortsetzung wird wie üblich wieder mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Das Integral ist damit wohldefiniert.

Unter anderem das wurde auf den vorherigen beiden Blättern gezeigt, die Wohldefiniertheit in der Aufgabe ist nur von formalem Interesse, wirklich zu zeigen ist da nichts mehr. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ umfaßt den Kreisring $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ . Daher läßt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ in eine Laurentreihe entwickeln. Bei gliedweiser Integration verschwinden alle Integrale bis auf eines. So kannst du den Integralwert ermitteln.

Laurentreihen sind noch nicht bekannt und dürfen auch nicht verwendet werden. Es sollte eher auf eine Begründung über Umlaufzahlen und allgemeine Cauchy Integralformel hinauslaufen. Augenzwinkern

Nachtrag: auf dem vorherigen Blatt gab es noch den Nachweis von $\begin{eqnarray*} \sqrt {z+1}\cdot\sqrt{z-1}=z\cdot \sqrt{1+\frac 1z}\cdot \sqrt{1-\frac 1z} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in G \end{eqnarray*}$ , das könnte auch noch hilfreich sein (und darf im Gegensatz zu Laurentreihen natürlich verwendet werden).

Neue Frage »

Antworten »

Integral f(z)=sqrt(z+1)*sqrt(z-1)

Verwandte Themen