Matrizen

29.11.2012, 19:16

SweetLemon

Matrizen

Meine Frage:
Hallo, habe hier eine Mathehausaufgabe, mit der ich nicht zurecht komme, da wir grade erst in das Thema eingestiegen sind. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Also: In einer Kleinstadt gehen 360 Jugendliche an jedem Wochenende in eine der beiden Diskotheken Starplus und Topdance. Von den Starplus-Besuchern wechseln das nächste Mal 50% zu Topdance und 50% kommen wieder. Bei den Topdance-Besuchern wechseln das nächste Mal 40% und 60% kommen wieder. Wie müssen sich die Jugendlichen verteilen, damit sich jede Woche dieselben Besucherzahlen ergeben?

Meine Ideen:
Zuerst habe ich eine Matrix angefertigt:

A = (o,5, 0,4 ; 0,5, 0,6) von links nach rechts gelesen, wobei 0,5 und 0,6 normalerweiße unten stehen.
Unsere Lehrerin meinte irgendwas von wegen Gleichung auflösen und hat diese an die Tafel geschrieben:
0,5 *x + 0,4*y =x
0,5*x + 0,6*y = y

und x+y müssen ja 360 ergeben...
Aber ich weiß nun nicht, wie ich diese Gleichung auflösen muss

29.11.2012, 21:12

Kasen75

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Hallo,

Die Frage ist: Wie müssen sich die Jugendlichen verteilen, damit sich jede Woche dieselben Besucherzahlen ergeben?

D. h. es soll die sogenannte stationäre Verteilung ausgerechnet werden.

In der Matrix-Schreibweise sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5 & 0,4 \\ 0,5 & 0,6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus hat deine Lehrerin dieses Gleichungssystem aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} 0,5*x + 0,4*y =x 0,5*x + 0,6*y = y \end{eqnarray*}$

Mit deiner Annahme: $\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 0,5*x + 0,4*y =x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5*x + 0,6*y = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

Wenn man bei der ersten Gleichung x und bei der zweiten Gleichung y auf die linke Seite bringt, dann steht dann da:

$\begin{eqnarray*} 0,5*x-1x + 0,4*y =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5*x + 0,6*y -1y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} -0,5*x + 0,4*y =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5*x - 0,4y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

Da die erste und zweite Gleichung identisch sind, kann man eine Gleichung weglassen, da beide Gleichungen die gleichen Informationen enthalten. Die Gleichheit sieht man am Besten, wenn man alle Vorzeichen der ersten Gleichung umdreht.

$\begin{eqnarray*} 0,5*x - 0,4y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

Somit hast du jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, das du lösen kannst, oder?

Grüße.

28.11.2014, 20:10

mathe2000

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Ich arbeitet im Moment auch an der oben beschriebenen Aufgabe und verstehe nicht wie ich nach dem im zweiten Kommentar beschriebenen Weg zur richtigen Lösung komme.

Mein weiterer Weg ist:
$\begin{eqnarray*} -0,5*x + 0,4*y =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5*x - 0,4y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y=360 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,5*x + 0,4t =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5*x - 0,4t=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1=0,8t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=0,8t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} 0,8 \\ 0,8 \end{pmatrix}*t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,8t+0,8t=360 1,6t=360 t=225 360-225=135 a=135, b=225 \end{eqnarray*}$

Die Zahlen stimmen aber wohl nicht. Wo liegt mein Denkfehler?

28.11.2014, 20:54

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x1=0,8t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=0,8t \end{eqnarray*}$

Woher kommt dieses x1 und x2, das steht da doch nirgendwo.
Wir haben nur die Variablen x und y.
Du hast y=t gesetzt und damit ist in der Tat x=0,8t.

Und damit insgesamt $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.8t \\ t \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

Vielleicht habt ihr das vorher statt x und y immer x1 und x2 genannt, da muss man sich dann eben entscheiden.

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