Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen

29.11.2012, 19:33

amaik

Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen

Meine Frage:
Hallo, meine Aufgabe lautet : Seien m und zwei reelle ganze Zahlen die als SUmme von reellen ganzen Quadratzahlen geschrieben werden können. Beweisen Sie , das m*n sich dann auch als SUmme von zwei reellen ganzen Zahlen schreiben lässt. Beispiel:
17=4²+1²
13=2²+3²
17*13=221=14²+5²

Hinweis : DIe Aufgabe lässt sich leichter in der komplexen Zahlenebene lösen.

Meine Ideen:
So meine Idee ist die Form allgemeine aufzuschreiben; also
m=l²+r²
n=l²+r²
und dies dann als m*n=( l²+r²)+(l²+r²)zu lösen. Hier komm ich mit der umformung allerdings nicht so recht weiter.Und ich verstehe auch den Hinweis nicht so recht, kann ich den an dieser Stelle anwenden, oder ist bereits mein ANsatz falsch. BIn sehr dankbar, wenn mir jemand hilft!

29.11.2012, 19:45

Leopold

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RE: Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen

Zitat:

Original von amaik
m=l²+r²
n=l²+r²

Da sich $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ im selben Kontext befinden, darfst du in ihren Darstellungen als Summen von Quadratzahlen nicht dieselben Bezeichner verwenden. Schreibe zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} m = x^2 + y^2 \, , \ \ n = u^2 + v^2 \ \ \text{mit positiven ganzen Zahlen} \ x,y,u,v \end{eqnarray*}$

Betrachte dann die komplexen Zahlen

$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \, , \ \ w = u + \operatorname{i}v \end{eqnarray*}$

Versuche, $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z,w \end{eqnarray*}$ unter Verwendung einer fundamentalen Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Verwende bekannte Gesetzmäßigkeiten dieser Abbildung.

29.11.2012, 20:25

amaik

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Vielen Danke für deine schnelle Antwort.
Die Darstellung von n war oben leider ein Tippfehler.
Ansonsten : mit fundamentaler Abbildung meinst du wahrscheinlich (a,b)€C-->a+ib€R.
Habe auch m und n jetzt dargestellt als:
$\begin{eqnarray*} m=z^2+2y^2-2ixy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=w^2+2v^2-2uiv \end{eqnarray*}$

Dann kann ich m*n ja darstellen als $\begin{eqnarray*} m*n=(z^2+2y^2-2ixy)*(w^2+2v^2-2uiv) \end{eqnarray*}$

hilft das weiter oder ist das nicht, das was du gemeint hast, sehe nämlich nicht direkt wie ich das sinnvoll auflösen könnte.

29.11.2012, 21:46

Mystic

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RE: Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen

Zitat:

Original von Leopold
Schreibe zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} m = x^2 + y^2 \, , \ \ n = u^2 + v^2 \ \ \text{mit positiven ganzen Zahlen} \ x,y,u,v \end{eqnarray*}$

Da wären dann aber ausgerechnet Quadratzahlen i. allg. nicht so darstellbar... Big Laugh

30.11.2012, 12:13

amaik

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RE: Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Leopold
Schreibe zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} m = x^2 + y^2 \, , \ \ n = u^2 + v^2 \ \ \text{mit positiven ganzen Zahlen} \ x,y,u,v \end{eqnarray*}$

Da wären dann aber ausgerechnet Quadratzahlen i. allg. nicht so darstellbar... Big Laugh

Wieso?

30.11.2012, 12:25

Mystic

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RE: Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen
Naja, nenn mir z.B. eine Lösung von x²+y²=3² in positiven ganzen Zahlen x und y...

30.11.2012, 12:33

amaik

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RE: Quadratzahlen als Summe von Quadratzahlen
Das geht nicht, aber Vorraussetzung der Aufgabe ist ja, das m und n sich als Summe von 2 positiven ganzen Quadratzahlen darstellen lassen; und somit sollte diese Darstellung doch möglich sein.

30.11.2012, 14:03

Leopold

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Die Frage ist, ob man bei $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ triviale Quadratsummen, nämlich Quadratzahlen selbst (die nicht von pythagoreischen Tripeln herrühren), betrachten will oder nicht. Der Satz bleibt so oder so richtig. Nur werden bei meiner Interpretation "weniger" $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ zugelassen. Ohne im Beweis auch nur ein Fitzelchen zu verändern, kannst du gerne $\begin{eqnarray*} x,y,u,v \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ohne Einschränkung annehmen.

Und jetzt konzentriere dich auf die eigentliche Aussage.

30.11.2012, 14:10

amaik

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Zitat:

Original von amaik
Vielen Danke für deine schnelle Antwort.
Die Darstellung von n war oben leider ein Tippfehler.
Ansonsten : mit fundamentaler Abbildung meinst du wahrscheinlich (a,b)€C-->a+ib€R.
Habe auch m und n jetzt dargestellt als:
$\begin{eqnarray*} m=z^2+2y^2-2ixy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=w^2+2v^2-2uiv \end{eqnarray*}$

Dann kann ich m*n ja darstellen als $\begin{eqnarray*} m*n=(z^2+2y^2-2ixy)*(w^2+2v^2-2uiv) \end{eqnarray*}$

hilft das weiter oder ist das nicht, das was du gemeint hast, sehe nämlich nicht direkt wie ich das sinnvoll auflösen könnte.

Ich Frage einfach nochmal, da die Frage anscheinend nun untergegangen ist? Ist der obige Ansatz so gelöst wie du das gemeint hast, oder ist er falsch, Ich komme beim auflösen, nämlich nicht wirklich auf ein Ergebniss, aber habe auch keine andere Idee.

30.11.2012, 17:26

mYthos

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So war das nicht gemeint und dieser Weg wird dich wahrscheinlich nicht weiterbringen. Die von dir genannte Abbildung ist so auch nicht nachvollziehbar.

Hinweis:
Die (fundamentale) Abbildung ordnet der komplexen Zahl z = a + bi deren Betrag bzw. dessen Quadrat zu, dieser ist sicher eine reelle Zahl.

Setze also

$\begin{eqnarray*} |z|^2 = m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |w|^2 = n \end{eqnarray*}$

und verwende, dass $\begin{eqnarray*} |z|^2 \cdot |w|^2 = |z \cdot w|^2 \end{eqnarray*}$

mY+

01.12.2012, 13:26

amaik

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Vielen Dank, mit diesem Hinweis konnte ich die Aufgabe lösen.

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