Normalverteilte ZV'e

29.11.2012, 20:08	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilte ZV'e Sei X eine reelle Zufallsvariable. Zeigen Sie a) Wenn $\begin{eqnarray} X\thicksim N (\beta, \sigma^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} aX+b \thicksim N(a\beta +b, a^2\sigma^2) \end{eqnarray}$ Meine Lösung: Ich definiere $\begin{eqnarray} Y:= aX+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y \thicksim N(a\beta +b, a^2\sigma^2) \end{eqnarray}$ Beweis: Zuerst betrachte ich den Fall für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P[Y\leq y] = P[aX+b\leq y] \end{eqnarray}$ -> nun stelle ich nach X um $\begin{eqnarray} P[Y \leq \frac{y-b}{a}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{y-b}{a}} \! exp (-\frac{1}{2}(\frac{x-\beta}{\sigma})^2) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{y-b}{a}} \! exp (-\frac{(x-\beta)^2}{2\sigma^2})) \, dx \end{eqnarray}$ Nun wende ich Substitution an $\begin{eqnarray} x =\frac{v-b}{a} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dx = \frac{1}{a} dv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P[Y\leq y] = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\sigma a \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{y} \! exp (-\frac{(v-a\beta-b)^2}{2a^2\sigma^2})) \, dv \end{eqnarray}$ Also ist dies $\begin{eqnarray} Y \thicksim N(a\beta +b, a^2\sigma^2) \end{eqnarray}$ Nun meine Frage kann mir jemand einen Ansatz geben für den Beweis für a<0? LG
01.12.2012, 13:06	Scoobay	Auf diesen Beitrag antworten »
Was würde denn deiner Meinung nach nicht hinhauen, wenn a<0 ?

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