Gruppenhomomorphismen

29.11.2012, 20:12

charlydelta

Gruppenhomomorphismen

Hey Matheboard smile

Ich arbeite gerade an folgender Aufgabe und ich habe irgendwie in meinem Lösungsansatz eine Art Widerspruch, weshalb ich an der Richtigkeit zweifle...
Wäre cool wenn jemand sagen könnte ob/was nicht stimmt.
Aber zuerst die Aufgabenstellung:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} G, H \end{eqnarray*}$ Gruppen und $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus. Desweiteren seien $\begin{eqnarray*} h, h_{1}, h_{2} \in f(G) \end{eqnarray*}$ .
a) Sei $\begin{eqnarray*} g \in f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$ wie folgt berechnet werden kann: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{h\}) = \{gk:k \in Kern(f)\} = \{kg:k \in Kern(f)\} \end{eqnarray*}$
b) ... (irrelevant für meine Frage)

Mein Ansatz ist folgender:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow h \in f(G) \subseteq H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g \in f^{-1}(\{h\}) \subseteq G \end{eqnarray*}$

z.z.:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{h\}) = \{gk:k \in Kern(f)\} \end{eqnarray*}$ (erstmal nur das)
Aus Definition des Kerns folgt:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{h\}) = \{gk:k \in f^{-1}(\{e_{H}\})\} \end{eqnarray*}$
Damit die Gleichung stimmt, muss also gelten:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{e_{H}\}) = \{e_{G}\} \end{eqnarray*}$
Denn:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{h\}) = \{gk:k \in f^{-1}(\{e_{H}\})\} = \{ge_{G}:g \in f^{-1}(\{h\})\} = \{g:g \in f^{-1}(\{h\})\} = f^{-1}(\{h\}) \text{ } \blacksquare \end{eqnarray*}$

Aber dann folgt daraus ja, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist, was aber in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert wird, weshalb ich denke, dass hier was falsch ist. Nur was?

29.11.2012, 21:11

shipwater

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Servus Kommilitone. Augenzwinkern

Keine Ahnung was du da gemacht hast, aber wenn x in der mittleren Menge ist dann kannst du schnell nachrechnen dass es auch in der linken Menge sein muss. Wenn x hingegen in der linken Menge ist dann überlege mal wie k in Abhängigkeit von g und x aussehen muss. Gibt ja nur eine Möglichkeit und wenn diese rein zufällig auch im Kern liegt ist doch alles gut... Da du hier aber Mengengleichhheit dreier Mengen zeigen musst wäre ein Ringschluss evtl. angebrachter. So hab ich es jedenfalls gemacht.

Gruß Shipwater

01.12.2012, 14:40

charlydelta

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Ein Ringschluss halte ich für sinnlos, da es hier schließlich nicht drum geht, Äquivalenzen zu beweisen, sondern um Gleichungen.

Wenn gilt: A=B und B=C dann ist auch C=A und A=C und B=B und A=B=C und was weiß ich ^^ ist ja logisch ^^

Ich werde meine Lösung posten wenn ich damit fertig bin, aber danke für deinen Rat, das hat mir gut weitergeholfen

01.12.2012, 15:19

shipwater

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Zitat:

Original von charlydelta
Ein Ringschluss halte ich für sinnlos, da es hier schließlich nicht drum geht, Äquivalenzen zu beweisen, sondern um Gleichungen.

Ich meine natürlich die Äquivalenz der drei Aussagen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ per Ringschluss zu zeigen. Dafür musst du drei Sachen zeigen: $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in B \Rightarrow x \in C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in C \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ .
Bedenke: Wenn du A=B und B=C zeigen willst musst du hingegen 4 Implikationen zeigen.

Gruß Shipwater

01.12.2012, 15:36

charlydelta

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ahhh, ich verstehe. Ja, das macht Sinn smile

Danke für den Tipp smile

)

01.12.2012, 15:46

charlydelta

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Wobei ich nicht verstehe was falsch daran wäre wenn ich zeige dass die Mengen tatsächlich gleich sind
also dann quasi drauf komme dass A=B und B=C
weil ich wüsste nicht was an der Umformung die ich gemacht habe falsch sein soll damit ganz klar ersichtlich ist dass die Mengen gleich sind:

Sei $\begin{eqnarray*} g \in f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in Ker(f) \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} gk=f^{-1}(f(gk))=f^{-1}(f(g)e_{H})=gf^{-1}(e_{H})=ge_{G}=g \end{eqnarray*}$

Dann folgt daraus, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \{gk:k \in Ker(f), g \in f^{-1}(\{h\})\} = \{g:g \in f^{-1}(\{h\})\} \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} = f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$

(Denn $\begin{eqnarray*} X = \{x:x \in X\} \end{eqnarray*}$ )

Dann ist A=B (oder vielmehr B=A) gezeigt

und B=C folgt daraus, dass das neutrale Element in einer Gruppe als kommutativ definiert ist.

Was stimmt an dem Weg dann nicht?

(Edits: Latex korrigiert)

01.12.2012, 15:54

shipwater

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Woher weißt du dass f umkehrbar ist? Vorausgesetzt ist doch nur f Homomorphismus und nicht f Isomorphismus.

Gruß Shipwater

01.12.2012, 16:05

charlydelta

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Guter Punkt... Ich habe nicht näher darüber nachgedacht weil ich davon ausgegangen bin, dass das allgemeingültig ist. Aber du hast recht.
Das war die Erleuchtung die ich brauchte um endgültig davon loszulassen xD
Danke Big Laugh

01.12.2012, 17:55

charlydelta

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Also... Ich bin mir nicht sicher, aber es scheint mir grad so als ob der Kern(f) nur das neutrale Element beinhaltet... Anders scheints nicht möglich zu sein.
Weil sonst kann ja gk nicht gleich kg sein, oder?
Kommutativ müssen die Gruppen nicht sein... Trotzdem scheint mir das Resultat auch als Einschränkung die "nicht sein muss"

Weiß nicht...

Aber wenn das stimmt dann komm ich nur drauf raus dass g überall drin ist, falls der Kern nur aus dem neutralen Element besteht. Aber das ist ja kein Beweis...
Denn z.B. die Mengen A={1}, B={1, 2} und C={1, 2, 3}
dann kann ich auch nicht sagen A=B=C nur weil 1 Element A, B und C...

01.12.2012, 18:23

shipwater

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Es muss ja auch nicht zwingend gelten $\begin{eqnarray*} x=gk=kg \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in Kern(f) \end{eqnarray*}$ sondern es geht doch auch $\begin{eqnarray*} x=gk_1=k_2g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1,k_2 \in Kern(f) \end{eqnarray*}$
Fang doch mal so an: Sei $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x)=h \end{eqnarray*}$ . Zeige dass dann $\begin{eqnarray*} g^{-1}x \end{eqnarray*}$ im Kern von f enthalten ist also verifiziere $\begin{eqnarray*} f(g^{-1}x)=e_H \end{eqnarray*}$ .

Gruß Shipwater

01.12.2012, 19:59

charlydelta

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Ah, jetzt!

Dann komm ich auf folgendes:

1. $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(\{h\}) \Rightarrow x \in \{gk:k \in Ker(f)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in f^{-1}(\{h\}) \Rightarrow f(x)=h \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x=gk \end{eqnarray*}$ genügt zu zeigen: $\begin{eqnarray*} g^{-1}x \in Ker(f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(g^{-1}x)=f(g^{-1})f(x)=f(g)^{-1}f(x)=h^{-1}h=e_{H} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{-1}x \in Ker(f) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x \in \{gk:k \in Ker(f)\} \Rightarrow x \in \{kg:k \in Ker(f)\} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} g^{-1}x \end{eqnarray*}$ im Kern liegt, dann auch $\begin{eqnarray*} xg^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(g^{-1}x)=f(g)^{-1}f(x)=h^{-1}h=e_{H}=hh^{-1}=f(x)f(g^{-1})=f(xg^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow xg^{-1} \in Ker(f) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} x \in \{kg:k \in Ker(f)\} \Rightarrow x \in f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_{H}=f(xg^{-1})=f(x)f(g)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)^{-1}=f(g)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)=f(g) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)=h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in f^{-1}(\{h\}) \end{eqnarray*}$

Aus 1, 2 und 3 ergibt sich dann der Ringschluss

02.12.2012, 14:48

charlydelta

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Stimmt das so weit oder ist das immernoch falsch? ^^
Und: wie komme ich bei der b) auf eine Bijektion? Ich finde es ist viel zu wenig gegeben um sicher sagen zu können dass es eine gibt :/

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