Nachweis Endomorphismus

29.11.2012, 21:30

Peter Lustig

Nachweis Endomorphismus

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum.

Sei
$\begin{eqnarray*} f: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right], \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \mapsto \sum\limits_{k=1}^n ka_{k} x^{k-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right], \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \mapsto \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k} }{k+1} x^{k+1} \end{eqnarray*}$

Weisen Sie nach, dass f und g Endomorphismen sind.

Meine Ideen:
Also mir ist im Prinzip klar, was ich bei dieser Aufgabe machen muss.
Zuerst die Homomorphismeneigenschaften nachweisen, das wären
(H1) $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$
(H2) $\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=\lambda f(x) \end{eqnarray*}$
Aber wie ich da bei dieser Aufgabe jetzt genau rangehe, damit hab ich irgendwie Probleme.
Außerdem muss ich noch zeigen, das Definitionsbereich und Wertebereich gleich sind, denn das ist ja die typische Eigenschaft eines Endomorphismus. Oder ist das schon gegeben da ja $\begin{eqnarray*} f: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right] \end{eqnarray*}$ ist?

Würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte smile

29.11.2012, 21:36

Mystic

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RE: Nachweis Endomorphismus

Zitat:

Original von Peter Lustig
Oder ist das schon gegeben da ja $\begin{eqnarray*} f: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right] \end{eqnarray*}$ ist?

Ja, da ist nicht mehr zu zeigen... Was den Nachweis der Homomorphie betrifft, muss man das einfach stur nachrechnen (ohne sich auf Grenzwertbetrachtungen zu berufen!)...

29.11.2012, 21:50

Peter Lustig

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Wie setze ich zum nachrechnen richtig an?

Mache ich das mit diesem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{k=0}^n a_{k} x^{k} + \sum\limits_{k=0}^n a_{k} y^{k} \end{eqnarray*}$ und rechne das durch oder setzte ich wirklich nur f(x+y) = ... an?

Mich irritiert irgendwie, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k} x^{k} \mapsto \sum\limits_{k=1}^n ka_{k} x^{k-1} \end{eqnarray*}$ ist und nicht $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sum\limits_{k=1}^n ka_{k} x^{k-1} \end{eqnarray*}$

29.11.2012, 21:58

Mystic

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Nein, mir scheint, du hast nicht erkannt, dass die Abbildung hier einfach der Differenzialoperator D auf dem Polynomring ist, d.h., es geht hier ums Differenzieren (allerdings nur formal, d.h., ohne Grenzwerte!) und die Linearität von D...

29.11.2012, 22:09

Peter Lustig

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Okay, ich versteh, f ist im Prinzip einfach das Differenzieren eines Polynoms und g das Integrieren eines Polynoms.

Aber wie setze ich dann jetzt genau an, um die Homomorphismuseigenschaften zu verifizieren?
ich glaub ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch.

29.11.2012, 22:14

Mystic

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Setzt doch dein f in

$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{k=0}^n a_{k} x^{k} + \sum\limits_{k=0}^n b_{k} x^{k}) =f(\sum\limits_{k=0}^n (a_{k}+b_k) x^{k}=\ldots \end{eqnarray*}$

einfach ein... Das gleiche mit der rechten Seite der zu beweisenden Gleichung...

29.11.2012, 22:32

Peter Lustig

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Fehler gemacht.

da ich x und y gewählt habe anstatt verschiedene Koeffizienten a und b zu wählen, bin ich total durcheinandergekommen. so dürfte das natürlich jetzt kein problem sein Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe smile

29.11.2012, 22:34

Mystic

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Du solltest nur vielleicht dazusagen, dass man hier davon abgehen muss, dass der höchste Koeffizient von 0 verschieden sein muss, da die Summen beide Male bis n gehen...

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