Abbildung, die injektiv, aber nicht surjektiv ist und andersrum |
| 29.11.2012, 23:06 | Tanni1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abbildung, die injektiv, aber nicht surjektiv ist und andersrum Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin... Sei F der - Vektorraum der Folgen reeller Zahlen. (i) Gesucht ist eine lineare Abbildung f: F -> F, die injektiv, aber nicht surjektiv ist. (ii) Ebenfalls brauche ich eine solche Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv ist. Meine Ideen: (i) (a1, a2, a3,...) -> (0, a1, a2...), da die 0 nicht als Funktionswert angenommen wird und gilt: f(a1)=f(a2) -> a1=a2 (ii) (a1, a2, a3,...) -> (a2, a3,...), da jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt. Hier fehlt mir allerdings die Begründung für die Nicht-Injektivität... Ist das alles so überhaupt zulässig? Danke schon mal! |
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| 29.11.2012, 23:26 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Abbildung, die injektiv, aber nicht surjektiv ist und andersrum
Und wohin wird abgebildet? Die Abbildung ist schon ein richtiges Beispiel, aber die Begründung noch nicht.
Nimm eine beliebige Folge . Was musst Du betrachten um hier ein Urbild angeben zu können? |
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| 29.11.2012, 23:32 | Tanni1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die richtigen Begründungen fallen mir leider immer recht schwer... 0 ist ja nicht in der Zielmenge, also ist doch die Surjektivität schon widerlegt, oder nicht? Um das Urbild angeben zu können brauche ich doch je einen zugehörigen Funktionswert. Ich habe wirklich große Schwierigkeiten, mir die Abbildungen richtig vorzustellen... |
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| 30.11.2012, 00:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso das denn nicht? Man kann recht einfach eine Folge angegeben, die Null abgebildet wird. |
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| 30.11.2012, 00:39 | Tanni1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meinte, dass ich keinen Definitionswert dazu habe... |
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| 30.11.2012, 00:39 | Tanni1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das zweite Beispiel denn soweit richtig? |
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| 30.11.2012, 13:35 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ich schon geschrieben habe, beide Folgen sind richtig gewählte Gegenbeispiele, aber die fehlen bei beiden noch die richtigen Begründungen. Nochmal zu 1): Der Nullvektor im vorliegenden Vektorraum ist die Folge, die nur 0 als Glieder hat. Aber genau dieser Nullvektor liegt selbst im Bild Deiner Abbildung und das einzige Urbild ist der Nullvektor selbst. Das muss auch so sein, wenn es sich hier um eine injektive lineare Abbildung handeln soll. Aber was ist z.B. mit der Folge . Liegt diese im Bild Deiner Abbildung? |
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