Basis bestimmen

29.11.2012, 23:45

Peter Lustig

Basis bestimmen

Sei V ein K-Vektorraum.

Sei
$\begin{eqnarray*} f: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right], \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \mapsto \sum\limits_{k=1}^n ka_{k} x^{k-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right], \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \mapsto \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{k} }{k+1} x^{k+1} \end{eqnarray*}$
gegeben.

Weiter sei $\begin{eqnarray*} F:K[x]\mapsto K[x] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} F(v):=(f \circ g)(v)- (g\circ f)(v) \end{eqnarray*}$ definiert.

Bestimmen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} U:=\left\{ v\in V|F(v)=v\right\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

Bin relativ planlos.
Naja, ich weiß, dass ich eine Basis finden muss.
Also muss ich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von U finden.

edit: In einer Aufgabe zuvor haben wir schon bewiesen, dass f und g endomorphismen sind.

30.11.2012, 11:05

Mystic

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RE: Basis bestimmen
Es geht hier mehr um den sog. "mathematischen Hausverstand"... Big Laugh

Die Frage ist ja: Für welche Polynome ist es egal, ob man zuerst integriert (ohne Integrationskonstante!) und dann differenziert oder umgekehrt...

Edit: Sorry, nicht "egal", wie ich oben geschrieben habe, denn es geht ja um die Fixpunkte und nicht den Kern des Endomorphismus, aber die Überlegung ist doch so ähnlich...

30.11.2012, 20:58

Peter Lustig

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Wäre dann nicht beispielsweise e^x eine Basis von U?
Denn hier ist es ja egal, ob ich erst ableite oder erst integriere. Bei Polynomen funktioniert das doch nicht immer?

Aber wie zeige ich das jetzt, also wie muss ich den Beweis führen?

30.11.2012, 21:20

Mystic

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Wäre dann nicht beispielsweise e^x eine Basis von U?

Wir reden hier über Polynome (nicht Potenzreihen) und zwar über einem Körper K (nicht über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder dgl.!)

Zitat:

Original von Peter Lustig
Aber wie zeige ich das jetzt, also wie muss ich den Beweis führen?

Was ergibt sich bei $\begin{eqnarray*} (f \circ g) (v) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom $\begin{eqnarray*} v \in K[x \end{eqnarray*}$ ], was bei $\begin{eqnarray*} (g \circ f) (v) \end{eqnarray*}$ ?

Denk immer daran: f entspricht dem Differenzieren, g dem Integrieren (ohne Integrationskonstante!)...

30.11.2012, 21:35

Peter Lustig

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Es dürfte sich sowohl für $\begin{eqnarray*} (g \circ f) (v) \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} (f \circ g) (v) \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \end{eqnarray*}$ ergeben oder?

Damit wäre $\begin{eqnarray*} F (v) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komme ich jetzt auf die Basis. wäre das nicht das Nullpolynom oder habe ich da einen Denkfehler?

30.11.2012, 22:27

Mystic

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Aber wie komme ich jetzt auf die Basis. wäre das nicht das Nullpolynom oder habe ich da einen Denkfehler?

Einen krassen Denkfehler, in der Tat... unglücklich

Nimm doch z.B. mal das Polynom

$\begin{eqnarray*} v=x^2-3x+5 \end{eqnarray*}$

und wende darauf $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ an...

30.11.2012, 23:11

RavenOnJ

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RE: Basis bestimmen

Zitat:

Original von Peter Lustig

$\begin{eqnarray*} g: K\left[x\right] \mapsto K\left[x\right], \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \mapsto \sum\limits^n _{k\color{red}=1\color{black}}\frac{a_{k} }{k+1} x^{k+1} \end{eqnarray*}$

Soll da wirklich eine 1 stehen oder nicht eher eine 0?

01.12.2012, 09:47

Peter Lustig

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Soll eine 0 sein, sorry.

01.12.2012, 10:26

Peter Lustig

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Es dürfte sich sowohl für $\begin{eqnarray*} (g \circ f) (v) \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} (f \circ g) (v) \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \end{eqnarray*}$ ergeben oder?

Damit wäre $\begin{eqnarray*} F (v) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komme ich jetzt auf die Basis. wäre das nicht das Nullpolynom oder habe ich da einen Denkfehler?

Mit dem von dir defnierten v erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} (g \circ f) (v) = x^{2} -3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f \circ g) (v)=x^{2} -3x-5 \end{eqnarray*}$

Hab das ganze nochmal für ein stinknormales Polynom durchgerechnet, und bekomme wieder ein ähnliches Ergebnis. Sprich bei $\begin{eqnarray*} (g \circ f) (v) \end{eqnarray*}$ fällt der konstante faktor weg. Also ist $\begin{eqnarray*} F(v)=c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$

Wir sollen ja also eine Basis finden, für den Fall $\begin{eqnarray*} F(v)=c \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} F(v)=v \end{eqnarray*}$ ist ja bekannterweise die Menge der Fixpunkte, was ich mir bildlich als Ursprungsgerade bzw. Winkelhalbierende des 1. Quadranten im Koordinatensystem vorstellen kann. Das wäre ja dann genau der Fall, wenn ich ein konstantes Polynom wähle, also ist $\begin{eqnarray*} F(v)=c \end{eqnarray*}$ erfüllt für alle $\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$ , sprich mein Unterraum besteht aus konstanten Polynomen.
Was wähle ich nun als Basis? Da hab ich mir überlegt, ich könnte doch einfach $\begin{eqnarray*} B=\left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ wählen, denn mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ kann ich durch $\begin{eqnarray*} \lambda \times 1 \end{eqnarray*}$ jedes konstante Polynomen erzeugen, damit wäre $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von U. Trivialerweise ist $\begin{eqnarray*} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ als ein-elementige Menge aber ja auch linear unabhängig.
Damit wäre tatsächlich $\begin{eqnarray*} B=\left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis.

Mal schauen ob ich wieder einen Denkfehler drin habe? Augenzwinkern

01.12.2012, 11:13

Mystic

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Mal schauen ob ich wieder einen Denkfehler drin habe? Augenzwinkern

Nein, das würde ich diesmal genauso sehen... Freude

Und in der Angabe steht wirklich F(v)=v und nicht F(v)=0? Das wäre für mich die etwas sinnvollere Frage, aber es passt auch so...

01.12.2012, 13:53

Peter Lustig

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Es steht wirklich F(v) = v in der Aufgabe, gerade eben nochmal nachgesehen.

Dann vielen Dank für deine Hilfe

Verständnishalber würde mich aber noch interessieren was im Falle F(v)=0 wäre. Man weiß ja nie für was man das noch gebrauchen kann in Hinblick auf Klausuren etc. Augenzwinkern

Also wäre jetzt dann angenommen F(v) = 0 und nicht F(v)=v.

Dann hätte ich ja die Definition des Kern's von F dort stehen.
Wie ich oben aber berechnet habe, wäre F(v)=c ... also wäre die einzigste mögliche Lösung v=0 das Nullpolynom?!

01.12.2012, 14:24

Mystic

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Naja, das wären dann eben die Polynome ohne konstanten Term...

01.12.2012, 15:16

Peter Lustig

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Okay, weil in diesem Fall wäre ja dann f o g = g o f und somit F(v) = 0

Mögliche Basis in diesem Fall wäre dann die Menge B = {x, x^2, ... x^n}

01.12.2012, 19:19

Mystic

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Mögliche Basis in diesem Fall wäre dann die Menge B = {x, x^2, ... x^n}

Oje, schon wieder einer deiner falschen Schluesse... Das ist jetzt aber gar nicht mehr lustig...

Richtig ist natürlich, dass die Potenzen x,x^2,x^3,... In der Basis nach oben unbeschränkt sind...

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