Kronecker Symbol

30.11.2012, 02:27	gnom-tensor	Auf diesen Beitrag antworten »
Kronecker Symbol Hallo, Es geht um diese Aufgabe : Man notiere alle von null verschiedenen Elemente von $\begin{eqnarray} \delta^{ij} _{pq} \end{eqnarray}$ und gebe ihre Wert an. Von $\begin{eqnarray} N = 3 \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich gerne wissen ob ich das auch so darstellen kann: $\begin{eqnarray} \delta^{ij} _{pq} = \begin{vmatrix} \delta_{ip} & \delta_{iq} \\ \delta_{jp} & \delta_{jq} \end{vmatrix} = \sum\limits_{q=1}^3 \sum\limits_{p=1}^3 \sum\limits_{i=1}^3 \delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp} \end{eqnarray}$ Ist etwas umständlich wegen den Summenzeichen aber wenn das stimmt hab ichs glaub ich zu 90 Prozent verstanden(das ausrechnen jedenfalls).
30.11.2012, 09:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Summe gar nicht hinschreiben. Es genügt, die Determinante $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \delta_{ip} & \delta_{iq} \\ \delta_{jp} & \delta_{jq} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ zu betrachten. Offenbar gibt's nur 2 nichtverschwindende Determinanten: -------------------------------------- Fall A: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1 \end{eqnarray}$ . Dazu gibt es folgende 6 Varianten: 1) i=p=1; j=q=2 2) i=p=1; j=q=3 3) i=p=2; j=q=1 4) i=p=2; j=q=3 5) i=p=3; j=q=1 6) i=p=3; j=q=2 ---------------------------------------- Fall B: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1 \end{eqnarray}$ . Schreibe dafür die 6 Varianten auf - ähnlich wie oben. Ich hoffe, ich habe nicht's vergessen. Prüfe das am Ende nochmal. ----------------------------------------
30.11.2012, 15:04	gnom-tensor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, danke für die Hilfe ! Was ich aber nicht verstehe, bei der nächsten Aufgabe soll ich für N=3 das berechnen: $\begin{eqnarray} a_{ij}^{ij} \end{eqnarray}$ Jetzt ist das $\begin{eqnarray} a_{ij}^{ij} = \begin{vmatrix} \delta _{ii} & \delta _{ij} \\ \delta _{ji} & \delta _{jj} \end{vmatrix} = a_{ij}^{ij} = \begin{vmatrix} \delta _{ii} & \delta _{ij} \\ \delta _{ji} & \delta _{jj} \end{vmatrix} = \delta _{ii}\delta _{jj}-\delta _{ij}\delta _{ji} = \sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 \delta _{ii}\delta _{jj}-\delta _{ii} \end{eqnarray}$ Das Ergebniss wäre 6 Also die Summen kann ich ja klaro weglassen, habs nur noch mal zur besseren Übersicht geschrieben ^^ Wenn ich das jetzt aber so ausrechne dann kommt bei mir aber nicht 6 raus sondern alles wird 0 Und du hast ja gemeint ich soll mir einfach die Determinante anschauen. Aber wie setze ich die Zahlen bei dieser Determinante ein? Deren Indizes sind ja anders als die von der ersten Aufgabe. Auch versteh ich nicht was es bedeutet wenn die Determinante 2 Reihe und Spalten hat, ich aber bis N=3 Summieren soll. Zb 12 oder 11 gibt doch den Ort des Elements in der Determinante an ?? oh man Gruß
03.12.2012, 10:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Fall $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \delta_{ip} & \delta_{iq} \\ \delta_{jp} & \delta_{jq} \end{vmatrix} =\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp} \end{eqnarray}$ konnte man das Summanzeichen weglassen, denn es gibt da nichts zu summieren, weil keine doppelten Indizes auftreten. Degegen treten in $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \delta_{ii} & \delta_{ij} \\ \delta_{ji} & \delta_{jj} \end{vmatrix} =\delta_{ii}\delta_{jj}-\delta_{ij}\delta_{ji} \end{eqnarray}$ doppelte Indizes auf, so dass hier summiert werden muss wie folgt $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{ii}}_{=3}\underbrace{\delta_{jj}}_{=3}-\underbrace{\delta_{ji}\delta_{ij}}_{\delta_{ii}=3}=6 \end{eqnarray}$

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