Beweis: weder kommutativ noch nullteilerfrei

Neue Frage »

mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: weder kommutativ noch nullteilerfrei
Meine Frage:
Hallo. Also irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch:

Ich soll zeigen das weder kommutativ noch nullteilerfrei ist.

Meine Ideen:
Gezeigt hätte ich es durch ein Multiplikatonstabelle bzw. Verknüfungstabelle.
Mein Problem ist jetzt bloß, ich weiß nicht wie ich das rechnen soll.
In der Zeile und Spalte würde doch (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) stehen oder?
Aber wie multipliziere ich jetzt (0,1)(0,1), mal abgesehen davon das wahrscheilich (0,0) rauskommt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Z2xZ2 ist eine abelsche Gruppe, also kommutativ, um die geht es hier gar nicht. Es geht um die Endomorphismen, also die Gruppenhomomorphismen von Z2xZ2 in Z2xZ2. Gegenbeispiele genügen, es ist nicht nötig, die Verknüpfung aller Endomorphismen zu betrachten.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Wie muss ich da rangehen um ein Gegenbeispiel zu erstellen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Konstruktiv nachdenken. Big Laugh
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte ein Gegenbeispiel sagen? Oder zumindest den Ansatz?
Kann mit dem erstellen von Gegenbeispielen nix anfangen. Sorry.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

G=Z2xZ2 ist die Kleinsche Vierergruppe, eine Gruppe mit 4 Elementen. Es gibt gerade mal 4 hoch 4 = 256 Abbildungen von G in G, ein paar davon sind Gruppenhomomorphismen.
Wenn dir nichts besseres einfällt, musst du eben fleißig sein.

Vorschlag zur Güte: Wegen reduziert sich die Anzahl der zu betrachtenden Abbildungen erheblich.

Gegenbeispiel heißt:
a) Du musst zwei Endomorphismen finden, die nicht vertauschen. (Abbildungen "vertauschen", wenn .)
b) Du musst zwei von der Identität verschiedene Endomorphismen finden, deren Produkt die Identität ist.

ODER: Geht es hier um etwas ganz Anderes ? Was ist für Dich ?? Was ist für Dich ???
Meinst Du vielleicht ? ?? Und dann als Endomorphismenring den entsprechenden Ring der Vektorraumendomorphismen ???
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es lassen sich relativ leicht Endomorphismen auf finden, die nicht kommutativ sind und ein Endomorphismus , für den .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ

Bitte kläre uns auf, da es mathe_maed'l nicht tun möchte : Wer oder was ist verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über , d.h., der Endomorphismenring, um den es hier geht ist also nichts anderes als der volle Matrizenring aller 2x2-Matrizen über ...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet insgesamt:
Sei (G,+) eine abelsche gruppe. Bezeichne .
sei definiert durch .
a) Zeigen Sie, dass tatsächlich .
b) Zeigen Sie, dass ein Ring mit 1 ist, wobei die Komposition von Abbildungen bezeichne.
c) ist bekannt

Eigentlich würde ich fast sagen, dass es auf den Ring hinausläuft, aber da ich mit dem Thema noch auf Kriegsfuß stehe, wird das bestimmt nicht stimmen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

a) und b) sind einfach Dinge zum Nachrechnen.

Was c) betrifft, so bilden, wenn man von der Darstellung



ausgeht, dann z.B. die Elemente (1,0) und (0,1) eine Basis und du kannst dir deren Bilder bei einem Endomorphismus unter allen 4 Möglichkeiten "aussuchen"... Der Rest ist dann dadurch festgelegt...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

a und b ist schon erledigt.
Und zu c: heißt jetzt das ich eine Verknüfungstabelle mache oder nicht?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wähle nur, so wie oben angegeben zwei Endomorphismen, die nicht vertauschbar sind, und zwei andere (oder auch die gleichen, wenn es damit funktioniert) die als Produkt die Nullabbildung ergeben, obwohl sie selber nicht die Nullabbildung sind...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wenn ich z.B. (0,1) und (1,1) nehme.
Wenn ich die beiden bei der Multiplikation vertausche, kommt unterschiedliches raus. Das wäre der erste Teil.
Und bei der Multiplikation von (0,1) und (1,1) kommt (0,0) raus. Das wäre der zweite Teil.

Oder? Ich bezweifel, dass das stimmt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Voll daneben. Es geht um lineare Abbildungen des Vektorraumes. Vektoren kann man nicht miteinander multiplizieren !
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

... war klar.

Keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Ok, also wenn ich (0,1) und (1,0) als Basis nehme. Dann als Basis von was?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

(0,1) und (1,0) sind eine Basis von oder?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
... und zwei andere (oder auch die gleichen, wenn es damit funktioniert) die als Produkt die Nullabbildung ergeben, obwohl sie selber nicht die Nullabbildung sind...


Da reicht einer. Es gibt Endomorphismen auf ungleich dem Nullendomorphismus , die zur Potenz 2 erhoben den Nullendomorphismus ergeben (beispielsweise sei solch ein Endomorphismus). Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Elemente aus , die nicht zum Kern von gehören, durch auf Elemente des Kerns abgebildet werden. Dann ist nämlich die doppelte Anwendung von die Null: . Der Nullendomorphismus ist ja der, der alle Elemente von auf die Eins von abbildet:



bzw. die Null, da in einer abelschen Gruppe das neutrale Element als 0 bezeichnet wird. Bei ist dies das Element .
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss also auf (0,0) kommen und das mit dem vertauschen beachten.
Aber wie? Sag ich jetzt einfach, wenn ich (0,1) nehme, End((0,1))? (Wobei ich denke, wenn ich die vertausche ist es das selbe.)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir mal ein Beispiel für einen Endomorphismus:



ist Untergruppe von und sogar Normalteiler, da abelsch (der Kern eines Gruppenhomomorphismus muss ein Normalteiler von sein.). Wie du siehst, ergibt die zweimalige Anwendung , da alle Elemente von G durch einmalige Anwendung von auf ein Element des Kerns von abgebildet werden
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Beispiel.
Hab trotzdem noch eine Frage: Wie kommst du bei der jeweiligen Zeile auf die rechte Seite?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach eine Abbildungsvorschrift für diesen Endomorphismus. Du könntest natürlich noch nachweisen, dass es sich wirklich um einen Gruppenhomomorphismus (der Gruppe auf sich selbst) handelt, denn das habe ich ja bisher nur behauptet. Augenzwinkern
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok. smile
Vielen Dank für deine Hilfe.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »