Potenzreihenansatz - Vollständige Induktion

30.11.2012, 13:19

AnnaBauigel

Potenzreihenansatz - Vollständige Induktion

Meine Frage:
Also es geht um folgendes:

das AWP ist gegeben durch: $\begin{eqnarray*} y'' + y = 4e^{x}; y(0)=y'(0)=2 \end{eqnarray*}$

dann waren die Teilaufgaben:

a) Stellen Sie die rechte Seite als Reihe dar (habe ich auch schon gemacht: $\begin{eqnarray*} 4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ : Da bin ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^{n} ((n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n} ) = 4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$
gekommen..
Ist das denn auch die Rekursionsformel? Wir sind in der VL nur die Schritte durchgegangen, aber was dann direkt die Rekursionsformel ist, weiß ich nicht.

So und jetzt meine eigentliche Frage zur c), die lautet:

Zeigen Sie, dass die Koeffizienten
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1}= 2, a_{n}=\frac{2}{n!}; n=2,3,... \end{eqnarray*}$
diese Rekursionsformeln gelten.

Und da liegt jetzt mein Problem. Ich weiß praktisch nicht so ganz was ich jetzt mit der vollständigen Induktion beweisen soll.

Meine Ideen:
Einfach $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2}{n!} \end{eqnarray*}$

oder mach ich das mit meiner Rekursionsformel?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^{n} ((n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n} ) = 4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

30.11.2012, 14:44

RavenOnJ

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RE: Potenzreihenansatz - Vollständige Induktion

Zitat:

Original von AnnaBauigel

b) Berechnen Sie eine Rekursionsformel für die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ : Da bin ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^{n} ((n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n} ) = 4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$
gekommen..

Was du hier aufstellst, sind die Potenzreihen. Jetzt musst du einen Koeffizientenvergleich der Monome von der linken und rechten Seite der Gleichung durchführen, dann kommst du auf die Rekursionsgleichungen für die Koeffizienten.

03.12.2012, 21:17

AnnaBauigel

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Alles klar! Danke schon mal!

Und wie zeige ich jetzt dass die Rekursionsformel für die Koeffizienten gilt? Muss ich da überhaupt vollständige Induktion nehmen?

03.12.2012, 22:05

RavenOnJ

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Stell die Rekursionsformel(n) erst mal auf.

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