Monotonie eines Bruches bestimmen

30.11.2012, 14:02

Katha1593

Monotonie eines Bruches bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
Habe folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x}{x} \end{eqnarray*}$

Davon soll ich nun die Monotonie bestimmen.

Meine Ideen:
Das macht man ja mit der 1. Ableitung, welche lautet:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Dann macht man doch:
$\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x(x-1)}{x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)}{x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Muss man dann noch 1 x ausklammern?
Also:
$\begin{eqnarray*} x(\frac{-1}{x}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Was muss ich als nächstes machen?

Und woran erkennt man, dass eine Funktion nur steigend oder nur fallend ist?

Woran sehe ich, ob sie streng monoton wachsend/fallend oder nur monoton wachsend/fallend ist? Wie zeige ich das?

Verstehe die Erklärungen im Buch nicht.

Danke für eure Hilfe!

30.11.2012, 14:10

lgrizu

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RE: Monotonie eines Bruches bestimmen

Zitat:

Original von Katha1593
$\begin{eqnarray*} \frac{e^x(x-1)}{x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)}{x^2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Muss man dann noch 1 x ausklammern?
Also:
$\begin{eqnarray*} x(\frac{-1}{x}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt ist klar falsch, wenn ein x ausgeklammert wird dann doch bitte in jedem Summanden des Zählers und nicht im Zähler und Nenner....
Ich würde den letzten Schritt auch weglassen und die Frage stellen, ob eion $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert so dass $\begin{eqnarray*} x^2<0 \end{eqnarray*}$ ist, das bringt dich dann worauf?

Zitat:

Original von Katha1593
Und woran erkennt man, dass eine Funktion nur steigend oder nur fallend ist?

Woran sehe ich, ob sie streng monoton wachsend/fallend oder nur monoton wachsend/fallend ist? Wie zeige ich das?

Verstehe die Erklärungen im Buch nicht.

Was gibt denn die Ableitung an?

30.11.2012, 15:04

Katha1593

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} x^{2}\geq {0} \forall x \end{eqnarray*}$

oder?

30.11.2012, 15:18

Katha1593

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Sieht das Ergebnis dann so aus?

monoton wachsend auf dem Intervall I=[1,unendlich)
monoton fallend auf dem Intervall I=(-unendlich,0]

???

30.11.2012, 17:00

lgrizu

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Du hast auf meine Fragen nicht geantwortet....

Ws ist denn bei deinem Lösungsvorschlag mit dem Intervall (0,1) ?

Desweiteren ist die Funktion für x=0 nicht definiert, also kann auf $\begin{eqnarray*} (- \infty,0] \end{eqnarray*}$ auch nicht monoton fallend sein.

30.11.2012, 17:20

Katha1593

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Ich versteh gar nichts mehr

30.11.2012, 17:29

lgrizu

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Also:

Wir haben übrig:

$\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ .

Welche Intervalle ergeb sich daraus?

30.11.2012, 18:06

Katha1593

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I= (1,unendlich) und (-unendlich,1) ?

30.11.2012, 18:13

lgrizu

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Genau, nun haben wir aber x im Nenner der Funktion stehen, also ist die Funktion für x=0 nicht definiert, was ergibt sich, wenn wir aus dem entsprechenden Intervall die 0 herausnehmen?

30.11.2012, 18:15

Katha1593

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[1,unendlich] und [-unendlich, -1] ?

30.11.2012, 18:32

Katha1593

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aber es heißt doch kleiner oder gleich null ?? Damit ist null doch definiert oder?

30.11.2012, 18:41

lgrizu

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Ja, ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x(x-1)}{x} \end{eqnarray*}$ -um diese Funktion geht es ja immerhin noch- für x=0 definiert?

30.11.2012, 18:47

Katha1593

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Achso, okay verstanden.

Also ist die Funktion auf dem Intervall [1, unendlich] monoton wachsend und auf dem Intervall [-unendlich,-1] monoton fallend?

30.11.2012, 22:16

lgrizu

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Nochmal zurück zum Anfang, habe nicht aufgepasst bzw. nicht nachgerechnet...

Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^x \cdot (x-1)}{x} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Deine Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x \cdot (x-1)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Diese ist aber falsch, welche Ableitungsregeln hast du verwendet?

Die (richtige) Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e^x \cdot (x^2-x+1)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Also noch mal von Anfang an.

Mir ist das aufgefallen, als ich gerade einmal das Verhalten am Pol betrachtet habe, da konnte irgendetwas nicht stimmen mit deiner Rechnung......

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