Picarditeration - wo liegt mein Fehler?

30.11.2012, 16:48	schubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Picarditeration - wo liegt mein Fehler? Hi, also wir sollen diese DGL mittels Picarditeration lösen. $\begin{eqnarray} x'(t) = f(t,x(t)), \quad x(t_0) = 0, \quad t_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f:[-2,2]\times [-1,1] \rightarrow [-1,1], \quad f(t,x(t)) = \frac{1}{2}(x+1) \end{eqnarray}$ Okay, mein Vorgehen ist wie folgt: $\begin{eqnarray} x_{(0)}(t) = x_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(1)}(t) = 0 + \int_0^t \! f[s,0] \, ds = \int_0^t \! \frac{1}{2} \, ds = \frac{1}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(2)}(t) = 0 + \int_0^t \! f[s,\frac{1}{2}s] \, ds = \int_0^t \! \frac{1}{2}s \, ds = \frac{1}{4}t^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(3)}(t) = \dots = \frac{1}{12}t^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(4)}(t) = \dots = \frac{1}{48}t^4 \end{eqnarray}$ Man kommt dann relativ schnell drauf, dass für $\begin{eqnarray} x_{(n)}(t) \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} x_{(n)}(t) = \dots = \frac{1}{2\cdot n!}t^n = \frac{1}{2}\frac{t^n}{n!} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist jetzt: Wie komme ich ab da dann auf die Lösung ( $\begin{eqnarray} x(t) = c_1 e^{(t/2)}-1 \end{eqnarray}$ laut WolframAlpha)? Ich weiß, dass z.B. folgendes gilt: $\begin{eqnarray} e^t = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \end{eqnarray}$ Aber bei mir fehlt da leider das Summenzeichen ... Könnte mir da wer einen Tipp geben? Vielen Dank im vorraus
30.11.2012, 22:27	schubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hat sich erledigt, ich habe meinen Fehler gefunden Ich werde die Lösung dann gleich noch druntersetzen...
30.11.2012, 23:25	schubi	Auf diesen Beitrag antworten »
So, hier die Lösung: $\begin{eqnarray} x_{(0)}(t) = x_0 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(1)}(t) = \int_0^t \! \frac{1}{2} \, ds = \frac{1}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(2)}(t) = \int_0^t \! \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}s+\frac{1}{2} \, ds=\int_0^t \! \frac{1}{4}s+\frac{1}{2} \, ds = \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(3)}(t) = \int_0^t \! \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8}s^2 + \frac{1}{2}s)+\frac{1}{2} \, ds = \int_0^t \! \frac{1}{16}s^2 + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2} \, ds = \frac{1}{48}t^3 + \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vdots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{(n)}(t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n! \cdot 2^n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ (\frac{t}{2})^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\frac{t}{2})^n}{n!} -1 = e^{(\frac{t}{2})} -1 \end{eqnarray}$ Den letzten Schritt (von Summe zu e) kann man in einer Formelsammlung unter Potenzreihen nachschlagen. $\begin{eqnarray} \Rightarrow x(t) = c\cdot e^{(\frac{t}{2})} -1 \end{eqnarray}$

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