Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen

30.11.2012, 16:10

PechKaro

Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen

Berechnen sie den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_{n} = (a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{k}^{n})^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit gegebenen pos. reellen Zahlen (Tipp: Sandwich-Lemma)

Also ich habe die Vermutung dass die Folge gegen $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Zunächst habe ich mir gedacht das man die Folge auch mit Hilfe eines Summenzeichens schreiben könnte

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{i=1}^k a_{i}^n)^\frac{^1}{n} = \sqrt[n]{\sum\limits_{i=1}^k a_{i}^n } \end{eqnarray*}$

Laut Sandwich muss ich mir nun eine folge suchen die kleiner gleich $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ und eine die größer gleich ist. Und beide folgen müssen gegen denselben wert konvergieren ...

Also als folge die kleiner gleich ist dachte ich mir $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ a_{k}^{n} } = a_{k} \end{eqnarray*}$ womit der Grenzwert auch $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ wäre

Soweit richtig ?

Jedenfalls ist mein Problem nun eine größere folge zu finden die gegen den selben wert konvergiert

30.11.2012, 16:57

Jello Biafra

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen
Setze $\begin{eqnarray*} a:=\max(a_1,a_2,\ldots,a_k). \end{eqnarray*}$

Schätze damit dann in naheliegender Weise nach oben und unten ab.
Das führt dann letztendlich zu:

$\begin{eqnarray*} a\leq x_n\leq a\sqrt[n]{n}. \end{eqnarray*}$

30.11.2012, 17:00

PechKaro

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen
Das verstehe ich nicht unglücklich

30.11.2012, 17:11

HAL 9000

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Jello Biafra hat sich leicht verschrieben und meint stattdessen

$\begin{eqnarray*} a\leq x_n\leq a\sqrt[n]{k} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2012, 17:11

Jello Biafra

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen

Zitat:

Original von Jello Biafra
Das führt dann letztendlich zu:

$\begin{eqnarray*} a\leq x_n\leq a\sqrt[n]{n}. \end{eqnarray*}$

Hmh, das könnte an dem kleinen Patzer liegen, den ich oben versehentlich eingebaut habe.

Es sollte natürlich

$\begin{eqnarray*} a\leq x_n\leq a\sqrt[n]{k} \end{eqnarray*}$

lauten.

Sorry!

30.11.2012, 17:27

PechKaro

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen
Ok soweit konnte ich das nachvollziehen
wie kommt man aber auf $\begin{eqnarray*} a\sqrt[n]{k} \end{eqnarray*}$ das habe ich noch nicht verstanden

30.11.2012, 19:16

Jello Biafra

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen
Nach Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist doch klar, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^k a_j^n\leq\sum_{j=1}^k a^n=ka^n. \end{eqnarray*}$

01.12.2012, 11:37

PechKaro

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RE: Grenzwert mit Hilfe des Sandwich Theorems berechnen
Vielen Dank da stand ich wohl ein wenig aufm Schlauch Hammer

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