Integration (exp(-x^tAx)

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h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
Integration (exp(-x^tAx)
Hallo zusammen,

Ich soll zeigen, dass

mit:

Hinweis:

orthogonale Matrix und Diagonalmatrix.

Meine Idee:


Leider weiss ich beim besten Willen nicht, wie es hier weitergehen soll.

Ich wäre sehr dankbar über eure Hilfe, viele Grüße.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Original von h4mmer
mit:

Hinweis:

Ist wirklich nur vorausgesetzt? Dann könnte es ein Problem geben bei der Wurzel aus (die Determinante kann ja auch negativ sein).

Der Hinweis lässt jedenfalls vermuten, dass sogar positiv definit sein soll (insbesondere symmetrisch)
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Natürlich hast du recht. Positive Definitheit ist auch noch vorrausgesetzt.

Tut mir leid unglücklich
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
ok - mit dem Hinweis kann man zuerst das Skalarprodukt im Exponenten anders schreiben:

Danach bietet sich eine bestimmte Substitution an...
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Da ich leider nicht darauf komme, worauf du hinauswillst, schreibe ich einfach mal mögliche Umformungen auf:



Gruß
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
nein, man kann nicht einfach eine Matrix aus dem Skalarprodukt herausziehen... es gilt aber für jede relle -Matrix und . Angewendet auf unsere Situation also .
Nun kann man geeignet substituieren
 
 
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Ich substituiere .

Dann erhalte ich:



Jetzt sollte die Tranformationsformel ins Spiel kommen.

Ist leider das erste Mal, dass ich mit der Formel arbeite....



wobei die Jacobimatrix ist.

Viele Grüße
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Original von h4mmer
Ich substituiere .

richtig. Setzen wir , so sagt die Transformationsformel



wobei die Jacobimatrix von in bezeichnet. Was ist hier in unserem Fall? Und was ist dann die Determiante davon? Dann vereinfacht sich das Integral erheblich...
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Ich ahne, dass sein muss, da ich dann folgendes bekommen würde:



Grüß
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Original von h4mmer
Ich ahne, dass sein muss

Nein, es gilt für alle (folgt leicht aus der Definition der Jacobimatrix). Was ist dann ?
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Nein, es gilt für alle


Habe ich verstanden smile

Da die Determinate einer orthogonalen Matrix immer ist:



Also hätte wir:




Soweit richtig?

Gruß
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
ja, soweit richtig Freude

Wir haben jetzt also
,
da gilt ( ist invertierbar).
Wie kann man nun das letzte Integral bestimmen? Wie sieht aus?
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Nun, D ist Diagonalmatrix mit nur positiven Elementen.

Sei

Also ist ?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Original von h4mmer
Nun, D ist Diagonalmatrix mit nur positiven Elementen.

ja

Zitat:
Sei

Also ist ?

nein, das Skalarprodukt muss ja eine Zahl sein, kein Vektor
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)


Dann hätten wir:




Gruß
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Zitat:
Original von h4mmer


Dann hätten wir:


soweit stimmt es (bis auf das fehlende Minus im Exponenten), der nächste Schritt war dann falsch. Man kann aber den Integranden als Produkt darstellen:



Somit bleiben noch die 3 eindimensionalen Integrale zu bestimmen. Diese sind vom Typ mit . Kennst du die Dichte der Standard-Normalverteilung? Dort tritt ein ähnliches Integral auf
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
Wir haben bereits in der Vorlesung über die Polarkoordinaten gezeigt, dass

Ich bin den gleichen Weg gegangen und bin hierbei gelandet:



Also insgesamt:




, da:



da


Ich danke dir wirklich VIELMALS für dein geniale Hilfe,

Viele liebe Grüße

h4mmer
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration (exp(-x^tAx)
alles richtig! Freude
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