Lösungen aus inverser Matrix herleiten

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30.11.2012, 18:33	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen aus inverser Matrix herleiten Hallo zusammen, ich bin mir nicht sicher, was ich bei dieser Aufgabe genau machen soll: Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem S: $\begin{eqnarray} 2x_1+ix_2=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ix_1+\frac{1}{2}x_2=i \end{eqnarray}$ (i) Man bestimme eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sowie die Vekoren $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ so, dass S sich in der Form $\begin{eqnarray} A\cdot\vec{x}=\vec{b} \end{eqnarray}$ schreiben läßt. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 & i \\ i & \frac{1}{2} \end{pmatrix},\quad \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\quad \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ i\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & i \\ i & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ i\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ii) Man bestimme die Inverse $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und leite hieraus die Lösungen von S her. $\begin{eqnarray} A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt? Folgendes jetzt mit Gauß lösen, oder was ist da gemeint? $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cc\|c} \frac{1}{4} & -\frac{i}{2} & 2 \\ -\frac{i}{2} & 1 & i \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \end{matrix} \end{eqnarray}$
01.12.2012, 14:05	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, im Internet konnte ich folgendes finden: $\begin{eqnarray} A\cdot\vec{x}=\vec{b} \quad \Rightarrow \quad \vec{x}=A^{-1}\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ i\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_1=1 \quad , x_2=0 \end{eqnarray}$
01.12.2012, 14:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so. Du kannst dir ja noch überlegen, wie man auf $\begin{eqnarray} \vec x=A^{-1}\vec b \end{eqnarray}$ kommt.
01.12.2012, 14:22	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool danke! Das habe ich mich eben auch gefragt Vermutlich weil: $\begin{eqnarray} \frac{\vec{b}}{A} = A^{-1}\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$ ?
01.12.2012, 14:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\vec b}A \end{eqnarray}$ ist eine sehr seltsame Schreibweise Mit welcher Umformung kommst du denn von der gegebenen Gleichung auf $\begin{eqnarray} \vec x=A^{-1}\cdot\vec b \end{eqnarray}$ ?
01.12.2012, 14:27	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte jetzt gedacht $\begin{eqnarray} : A \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \cdot\frac{1}{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{A}\cdot\vec{b}=A^{-1}\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$
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01.12.2012, 14:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn bei dir die Division durch eine Matrix definiert?
01.12.2012, 14:35	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh das haben wir garnicht gemacht in der Vorlesung. Nur Addition, Multiplikation, Tranportnierte und Inverse. Der Professor hat gesagt, dass die Division sehr kompliziert sei.
01.12.2012, 14:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist die überhaupt nicht definiert (zumindest nicht im allgemeinen, man könnte sich dazu aber irgendetwas ausdenken). Forme $\begin{eqnarray} A\vec x=\vec b \end{eqnarray}$ also lieber mit den angegebenen Operationen durch.
01.12.2012, 14:44	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide seiten mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{A} \end{eqnarray}$ multiplizieren und dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{A}\cdot\vec{b}=A^{-1}\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$ würde mir da nur einfallen.
01.12.2012, 14:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ meinst du wohl. (oder habt ihr $\begin{eqnarray} \frac1A:=A^{-1} \end{eqnarray}$ vereinbart?) Und zwar von links.
01.12.2012, 14:56	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah nar klar da hast du recht, $\begin{eqnarray} A^{-1}\cdot A=1 \end{eqnarray}$ Nein, das haben wir natürlich nicht definiert. Vielen Dank!
01.12.2012, 15:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht lieber $\begin{eqnarray} A^{-1}\cdot A=I \end{eqnarray}$ ? Bzw. $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ? Die Einheitsmatrix jedenfalls...
01.12.2012, 16:36	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die meinte ich Danke!

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