Lsg. einer Gl. in Z mod 101

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Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »
Lsg. einer Gl. in Z mod 101
Hi,

ich stehe hier vor einem kleinen Problem bei einer Aufgabe:

Frage: gibt es ein x aus Z, sodass



Diese Gleichung kann man ja so umformen, dass sich die Frage nach
ergibt, weil 101 immer ein Teiler von ist für alle k außer 0 und für k=0 fällt das raus.

Also:
, d.h. , d.h. es gibt k aus Z, sodass

Meiner Meinung gibt es kein solches k, aber wie zeige ich das sauber?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme eher auf .

Sagt dir das Legendresymbol etwas?
 
 
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ah, ja, stimmt...wg. dem

Nein, das Legendre-Symbol sagt mir nichts...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht die Aufgabe natürlich etwas schwieriger.

Zunächst ist die Lösbarkeit von natürlich äquivalent zu der Lösbarkeit von .

Wenn es eine Lösung gibt, dann gibt es eine Lösung in .

Wegen reicht es daher, sich davon zu überzeugen, dass für keine Quadratzahl ist.

Alternativ berechnest du .

Wegen geht das auch noch ganz gut im Kopf.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo

Zunächst ist die Lösbarkeit von natürlich äquivalent zu der Lösbarkeit von .

Wenn es eine Lösung gibt, dann gibt es eine Lösung in .

Alternativ berechnest du .


Hi,

diese Schritte sind mir leider nicht klar...Wie kommst du darauf, dass es das gleiche ist wie ? Und warum die Lsg. dann zw. 1 und 50?!?

Zitat:
Original von tmo
Wegen geht das auch noch ganz gut im Kopf.


Diesen Schritt verstehe ich dann schon wieder..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stefan03
Wie kommst du darauf, dass es das gleiche ist wie ?



Das bedeutet, dass 48 genau dann quadratischer Rest modulo 101 ist, wenn dies auch auf 3 zutrifft.

Zitat:
Original von Stefan03
Und warum die Lsg. dann zw. 1 und 50?!?

Es gibt modulo 101 ja nur die Reste -50,-49,...,49,50, wobei 0 sicher nicht der gesuchte Rest ist. Und dann ist ja noch .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Wegen geht das auch noch ganz gut im Kopf.


Ich hätte übrigens eher schreiben sollen, dass man das ganz gut mit Stift und Papier in kurzer Zeit hinkriegt. Das nur im Kopf zu machen bedarf schon sehr sehr großer Konzentration.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

so, also verstehe ich das richtig:

da ist

Und weil in mod 101 hat die Gleichung keine Lösung?

Nochmal zum Verständis: Ich rechne , weil die Lsg. irgendwas zw. 1 und 50 sein muss und ich rechne deshalb mit der höchsten Potenz, weil wenn es eine "niedrigere" Lsg. geben würde. wäre sie ja da enthalten?!?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ist falsch.

Wenn du richtig rechnest, erhältst du .


Aber abgesehen davon scheinst du diesen Ansatz völlig missverstanden haben: Der war eher so gedacht:

Wäre , so wäre nach dem kleinen Fermat .

D.h. durch das Nachrechnen von kann man zeigen, dass es eben keine Lösung gibt.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok, ja, jetzt versteh ich das auch smile Ein paar Sätze zu kennen ist immer sehr hilfreich smile

Stimmt das zumidenst?




edit: habs doch geschafft, es richtig nachzurechnen...PC Taschenrechner wollte meine Klammer nicht, aber man hätte es auch merken können, dass (-4)^6 positiv sein muss....
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zeile stimmt.

Ich vermute ja fast, dass du fälschlicherweise sowas wie gemacht hast verwirrt
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ja, siehe letzten editierten Beitrag smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei man allerdings nicht schreiben sollte, das kann optisch nämlich leicht mit verwechselt werden.

Besser wäre die Notation , denn das ist hier ja schließlich gemeint.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem quadratischen Reziprozitaetsgesetz gilt, das 3 genau dann quadratischer Rest mod p für eine Primzahl p von der Form 4k+1 ist, wenn p mod 3 quadratischer Rest mod 3 ist... Damit muss man also hier nur mehr die (sehr viel leichtere) Frage beantworten, ob 2 quadratischer Rest mod 3 ist...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic: Ich bin davon ausgegangen, dass das quadratische Reziprozitätsgesetz dem Fragesteller kaum bekannt ist, weil es ja zumeist in Verbindung mit dem Legendre-Symbol gelehrt wird.


Daher auch:
Zitat:
Original von tmo
Das macht die Aufgabe natürlich etwas schwieriger.


Dass die Aufgabe mit dem Reziprozitätsgesetz trivial wird, war mir schon klar Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
@Mystic: Ich bin davon ausgegangen, dass das quadratische Reziprozitätsgesetz dem Fragesteller kaum bekannt ist, weil es ja zumeist in Verbindung mit dem Legendre-Symbol gelehrt wird.

Ja, das hab ich durchaus mitbekommen... Ich wollte nur den Threadersteller darauf hinweisen unter "welcher Überschrift" das einzuordnen ist, falls er sich das Wissen dazu "ergooglen" will... Big Laugh
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