Integration Kugel

01.12.2012, 13:56	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Kugel Hallo alle miteinander, Ich versuche gerade, das Volumen von $\begin{eqnarray} B/ B_\epsilon=K \end{eqnarray}$ (" $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ohne $\begin{eqnarray} B_\epsilon \end{eqnarray}$ ") mit $\begin{eqnarray} B=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R: x^2+y^2+z^2\leq R^2\right\} \end{eqnarray}$ Ich bin so vorgegangen: Sei $\begin{eqnarray} a=R-\epsilon \end{eqnarray}$ Nach Cavalieri gilt doch: $\begin{eqnarray} \lambda^3(K)=2\cdot \int_{-a}^a\lambda^2(K_2)dz \end{eqnarray}$ Jetzt berechne ich: $\begin{eqnarray} \lambda^2(K_2)=2\cdot \int_{-a}^a\sqrt {a^2-y^2}dy=...=a^2\pi \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \lambda^3(K)=2\cdot \int_{-a}^a\lambda^2(K_2)dz=2\cdot \int_{-a}^a(a^2-z^2)\pi dz=2\cdot \frac {4a^3\pi}{3} \end{eqnarray}$ Da aber ja allgemein bekannt ist, dass das Volumen einer Kugel nun mal $\begin{eqnarray} \frac {4a^3\pi}{3} \end{eqnarray}$ ist, habe ich eine 2 zuviel. Warum muss $\begin{eqnarray} \lambda^3(K)=\int_{-a}^a\lambda^2(K_2)dz \end{eqnarray}$ gelten? Und ist mein Vorgehen überhaupt richtig um $\begin{eqnarray} B/B_\epsilon \end{eqnarray}$ zu berechnen? Vielen Dank, MfG

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