Funktionsanpassung

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11.02.2007, 13:54	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsanpassung Hallo liebe Leute, ich habe wieder ein Problem: Ich habe eine Tabelle mit 10 Werten x und y, alle positiv. X _ Y 0 _ 0,00 5 _ 0,31622775 10 _ 0,88400700 15 _ 1,64316750 20 _ 2,52982200 25 _ 3,53553390 30 _ 4,64757900 35 _ 5,85661995 40 _ 7,15539000 45 _ 8,53801500 50 _ 10,00000005 (Stört euch nicht an der Genauigkeit der Zahlen) Wenn man diese Punkte nun in ein Koordinatensystem einträgt und sie verbindet, ergibt sich ein Graph, der aussieht wie eine Exponentialfunktion, oder wahlweise wie eine halbe Parabel. Ich soll nun diesen Graph näherungsweise an eine Funktion der Form $\begin{eqnarray} f(x)=ax^b \end{eqnarray*}$ anpassen (a und b sind Konstanten, x ist die Variable). Meine Frage nun, wie mache ich das?? Wäre es eine Exponentialfunktion wäre es nicht so schlimm, ich würde dies Verfahren mit der Ausgleichsgeraden durchführen, doch ich habe absolut keinen Schimmer, wie ich hier vorgehen sollte. Habt ihr 'nen Tip oder eine Beschreibung eines Verfahrens? Danke für alle Hilfe im Voraus, lg Peter
11.02.2007, 14:09	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnt ihr im Unterricht einen CAS benutzen?
11.02.2007, 14:29	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
hey! hast du es mal als einfache steckbriefaufgabe versucht? also bspw f(0)=a0^b f(5)=a5^b=0,316277 lg tina
11.02.2007, 14:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne ein CAS (Computer Algebraic System) kannst du 2 Messwerte (Mitte, Ende) zur Berechnung von a und b heranziehen: z.B. $\begin{eqnarray} 4,648 = a \cdot 30^b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10 = a \cdot 50^b \end{eqnarray}$ ______________________________ Daraus sind a, b zu berechnen, die Funktion damit aufzustellen und deren Funktionswerte mit der ganzen Messreihe zu vergleichen. Wir erhalten dabei nur geringe Abweichungen. @Dorika: f(0) bringt hier nichts! Denn alle Funktionen dieser Form gehen durch den Nullpunkt! mY+
11.02.2007, 14:30	GDY	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, du hast 2 Variablen $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ . Hast du schon versucht 2 Gleichungen aufzustellen mit den Werten von oben? Also, z.B. : $\begin{eqnarray} f(10) = 0,884007 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(20) = 2,52982200 \end{eqnarray}$ Edit: Da hatten drei Leute den selben Gedanken zur selben Zeit ^^
11.02.2007, 14:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um geringere Abweichungen zu erzielen, ist es günstig, nicht zu nahe beieinander liegende Meßpunkte zu wählen! mY+
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12.02.2007, 20:35	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, die möglichkeit geht natürlich, gibt es noch eine andere, die alle Punkte mit einschließt? Ein CAS-System kann ich nicht benutzen, ich muss es rechnen, für meine Facharbeit, trotzdem danke^^ Ich hab noch nen anderen Ansatz, könnt ihr den mal auf die Richtigkeit überprüfen? Also: Die gesuchte Funktion soll die Form $\begin{eqnarray} f(x)=ah^b \end{eqnarray}$ besitzen. Ich weiß, wie man mithilfe einer Ausgleichsgeraden eine Exponentialfunktion der Form $\begin{eqnarray} f(x)=ce^{kx} \end{eqnarray}$ ermittelt ( c und k sind Konstanten, x die Variable). Wenn ich nun die gesuchte funktion umschreibe in $\begin{eqnarray} f(x)=ae^{ln(x^b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=ae^{bln(x)} \end{eqnarray*}$ Und ln(x) nun substituiere (kann man dies Wort hier benutzen?), also ln(x)=z , habe ich ja praktisch die Form, mit der ich rechnen kann. Ich würde mit dieser Form dann den ln(y) bilden, um die Variable aus dem Exponenten zu holen und somit die Grundform der Ausgleichsgeraden zu erhalten. Würde dann, praktisch gesehen, von den gegebenen Werten von X und Y den ln bestimmen und sie in ein ln(x)-ln(y)-Koordinatensystem eintragen (man könnte den "substitutionschritt folglich weglassen, fällt mir auf). Die Punkte sollten nun näherungsweise auf einer Geraden liegen. Ich gehen danach ie normal vor. Geht das? Danke für die Hilfe im Voraus^^. Peter
12.02.2007, 21:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst darauf hinaus, die Funktion durch Logarithmieren zu "linearisieren" und dann die lineare Regression verwenden. Warum nicht? Einen Versuch ist es allemal wert. Aber so umständlich musst du die Funktion gar nicht umbauen, denn ausgehend von $\begin{eqnarray} y = x^b \end{eqnarray}$ kommst du ohne Umschweife durch Logarithmieren zu $\begin{eqnarray} \ln y = b \ln x \end{eqnarray}$ Nun besteht zwischen den beiden Logarithmen eine lineare Beziehung mit dem Faktor b. Jetzt kannst du deine Wertetabelle durch die Logarithmen der Messwerte ersetzen und die Regression durchführen, d.h. ein geeignetes b ermitteln. mY+
12.02.2007, 21:36	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, du hast recht, aber die Hauptsache ist, dass es Funktionieren sollte, ich danke dir und euch allen^^ Also, die Firma dankt, ich setz mich zurück an meine Facharbeit. Peter
17.02.2007, 15:45	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hello again, also ich danke nochmal allen Tipgebern, der letzte Ansatz, mit der Bildung des ln von x und y, funktionierte einwandfrei. Jedoch stehe ich nun vor einem neuen Problem : X __ Y 0 __ 0,00 5 __ 94860,00 10 __ 122160,00 15 __ 164316,75 20 __ 189735,00 25 __212130,00 30 __ 232378,80 35 __ 250998,00 40 __ 268327,50 45 __ 284604,00 50 __ 300000,00 Ist meine neueTabelle. Trägt man diese Punkte ein erhalten wir in einem kartesischen Koordinatensystem einen Graphen, der aussieht, wie eine Logarithmusfunktion, bzw. eine Wurzelfunktion. Da der Graph den Punkt O(0\|0) besitzt, schließen sich jedoch log.funktionen aus. Ich möchte wieder mithilfe der Ausgleichsgeraden eine Funktion an diese Punkte annähern und stelle daher die gesuchte Funktion mit den Parametern auf: $\begin{eqnarray} f(x)=a\sqrt{bx+c}+d \end{eqnarray}$ a,b,c und d sind wieder Konstanten, da die gesuchte Funktion aber durch O gehen soll reduziert sich die Form auf $\begin{eqnarray} f(x)=a\sqrt{bx} \end{eqnarray}$ (richtig?). Um eine lineare Beziehung zwischen x und y zu a und b herzustellen, quadriere ich: $\begin{eqnarray} (f(x))^2=(a\sqrt{bx})^2 \end{eqnarray}$ Anwendung der Potenzgesetze: $\begin{eqnarray} (f(x))^2=a^2(\sqrt{bx})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f(x))^2=a^2bx \end{eqnarray}$ Ich quadriere folglich meine y-Werte und trage diese Werte, als Punkte mit ihren jeweiligen x-Werten in ein x - y² - Koordinatensystem ein. Die Punkte liegen alle auf einer Geraden der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=18x \end{eqnarray}$ ( Punkte und Geradensteigung gerundet ! ) ... So, und was mache ich nun mit dem Ergebnis? Bei den anderen Beispielen (die gesuchte Form war f(x)=ax^b, Bildung des "ln" usw, siehe oben ) zuvor war die Steigung der Ausgleichsgeraden immer die Hochzahl von x, also b. Der Wert für den y-Achsenabschnitt stellte die Potenz zur Zahl e dar, das Ergebnis daraus war a. Doch was mache ich hier, da sich die Steigung ja aus a²*b zusammensetzt und der y-Achsenabschnitt entfällt. Ich hoffe mein Problem ist klar geworden, wäre nett, wenn mir jemand von euch einen Tipp geben könnte...es ist auch hilfreich, wenn man mir sagt, dass ich auf dem vollkommen falschen Dampfer bin :P Auch jetzt schoneinmal ein Dankeschön, lg Peter.
17.02.2007, 17:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip läuft das so, wie bei der anderen Aufgabe, d.h. du bist schon fast fertig. Jetzt machst du die Linearisierung wieder rückgängig, also lautet die Funktion $\begin{eqnarray} y = \sqrt{18} \cdot \sqrt{x} = 4,24 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Übrigens kannst du die Funktion statt mit a, b gleich mit $\begin{eqnarray} f(x) = a \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ansetzen, also sozusagen das b aus der wurzel holen und gleich in das a einarbeiten, sodass nur eine Konstante nötig ist.
17.02.2007, 18:14	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich mir auch gedacht, bin auch auf dieselbe Lösung gekommen, das Problem ist nur, dass die Werte viel zu klein sind. Edit: Habe mir die Wertetabelle nochmal angesehen und mir ist aufgefallen, dass es sich bei den Werten der Funktion um genau ein zehntausendstel der eigentlichen Werte handelt. In meinem Fall beschreiben die y-Werte Oberflächen in m², bei der Funktion rechne ich dann einfach stumpf in ha^^, von daher Prob gelöst...Danke! Edit²: Rechtschreibfehler
17.02.2007, 18:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du irgendwo falsch gerechnet, ich hatte nicht alles kontrolliert. Ich denke, dass du dich beim Quadrieren mit den Stellenwerten vertan hast, denn zahlenmäßig stimmt es. Nach meinem nochmaligen Überblick müsste der Faktor $\begin{eqnarray} 18 \cdot 10^8 \end{eqnarray}$ sein und nach dem Wurzelziehen daher 42400. mY+ EDIT: Wie vermutet!
17.02.2007, 20:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt, dass ich mich einmische, aber $\begin{eqnarray} f(x)=a\sqrt{bx+c}+d \end{eqnarray}$ ist ein klarer Fall von "Überparametrisierung", zumindest im eigentlich nur interessierenden Fall $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ . Denn dann ist $\begin{eqnarray} f(x)=a\sqrt{b} \cdot \sqrt{x+\frac{c}{b}}+d = a'\sqrt{x+c'}+d' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a'=a\sqrt{b}, c'=\frac{c}{b}, d'=d \end{eqnarray}$ . Also lass doch gleich das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ganz weg, es ist schlichtweg überflüssig. EDIT: Oh sorry, mYthos hat das auch schon geschrieben. Allerdings nur für den "kleineren" Ansatz, für den größeren hab ich das jetzt nachgeholt.
18.02.2007, 08:17	Peter V.	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, mythos, ich hab wahrscheinlcih schon die ganze zeit in ha gerechnet, letztendlich aber immer nur auf die Werte in m² geachtet, sorry und auch danke. Stumpf ist Trumpf! Ich wollte mich nochmal bei euch allen bedanken, ihr wart eine große Hilfe. lg Peter

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