Matrizengleichung lösen

01.12.2012, 16:15

Gast11022013

Matrizengleichung lösen

Meine Frage:
Hi, ich habe zwei Matrizengleichungen die ich lösen muss. Dabei bin ich mir jedoch nicht ganz sicher:

1. $\begin{eqnarray*} [(A+B)^{-1}\cdot X^{-1}]^{-1}=X\cdot A+B \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} A+(A\cdot X)^T=(X-A)^T \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So habe ich gerechnet:

1. $\begin{eqnarray*} [(A+B)^{-1}\cdot X^{-1}]^{-1}=X\cdot A+B \end{eqnarray*}$

erstmal die Inverse auf der Linken seite in die Klammer ziehen und dabei die Matrzienmultiplikation umdrehen:

$\begin{eqnarray*} X\cdot (A+B)=X\cdot A+B \end{eqnarray*}$

Nun von der rechten Seite das $\begin{eqnarray*} X\cdot A \end{eqnarray*}$ subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} X\cdot (A+B)-X\cdot A=B \end{eqnarray*}$

Nun klammere ich das X nach links aus:

$\begin{eqnarray*} X(A+B-A)=B X\cdot B=B \end{eqnarray*}$

Nun die Inverse von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von rechts multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} X=E \end{eqnarray*}$

___

2.

$\begin{eqnarray*} A+(A\cdot X)^T=(X-A)^T \end{eqnarray*}$

Zu erst die Matrix A subtrahieren und die Klammern auflösen. Dabei die mulitiplikation auf der linken Seite vertauschen:

$\begin{eqnarray*} X^T\cdot A^T=X^T-A^T-A \end{eqnarray*}$

nun subtrahiere ich $\begin{eqnarray*} X^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X^T\cdot A^T-X^T=-A^T-A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X^T \end{eqnarray*}$ nach links ausklammern:

$\begin{eqnarray*} X^T(A^T-E)=-A^T-A \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} (A^T-E)^{-1} \end{eqnarray*}$ von rechts multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} X^T=-A^T\cdot (A^T-E)^{-1}-A\cdot (A^T-E)^{-1} X^T=-A^T\cdot (A^T)^{-1}-A^T\cdot -E^{-1}-A\cdot (A^T)^{-1}-A\cdot -E^{-1} \end{eqnarray*}$

Die Inverse von E ist E. Daher:

$\begin{eqnarray*} X^T=-E-A^T-E+A X^T=A-A^T-2E \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt noch die Transponierte bilden? Also:

$\begin{eqnarray*} X=A^T-A-2E^T \end{eqnarray*}$

Das sieht irgendwie falsch aus.

Vielen dank im voraus.

Mfg

01.12.2012, 17:34

Kasen75

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Hallo Gmasterflash,

bei der 1. komme ich zu gleichen Ergebnis.

bei der 2. kann ich dir bis hierhin folgen:

$\begin{eqnarray*} X^T(A^T-E)=-A^T-A \end{eqnarray*}$

Danach kannst du, meiner Meinung nach, nicht mehr viel tun, als $\begin{eqnarray*} (A^T-E) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite zu bringen.
Eine Regel, bei der man die Inverse einer Summe ausmultiplizieren kann, ist mir nicht geläufig.

Grüße.

01.12.2012, 17:42

Gast11022013

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Als Endergebnis also:

$\begin{eqnarray*} X^T=-A^T(A^T-E)^{-1}-A(A^T-E)^{-1} \end{eqnarray*}$

?

Das sieht aber schon ziemlich unbefriedigend aus.
smile

Na ja wenn nicht mehr geht, dann geht halt nicht mehr.

Die Aufgabenstellung lautet, dass ich die Gleichung nach X auflösen muss. Hier wäre sie ja nun nach

$\begin{eqnarray*} X^T \end{eqnarray*}$ aufgelöst.

Einfach jetzt auf beiden Seiten transponieren, wie ich es in meiner Rechnung getan habe, ist nicht möglich, oder?

01.12.2012, 17:54

Kasen75

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Ich hätte auch den ganzen Ausdruck auf die rechte Seite gebracht.

x $\begin{eqnarray*} ^T=(-A^T-A) \cdot (A^T-E)^{-1} \end{eqnarray*}$

Man kann die ganze rechte Seite transponieren um links x zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} x={\bigg( (-A^T-A) \cdot (A^T-E)^{-1} \bigg)}^{T} \end{eqnarray*}$

Es wird immer unschöner. geschockt