Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus) |
01.12.2012, 16:22 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus) Hey, habe folgende Aufgabe zu bearbeiten: Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum; f,g:V->V Endomorphismen mit fof=f und gog=g. Zeigen Sie: a) Bild(f) Schnitt Kern(f) = {0} b) gof=f und fog=g <=> Bild(f) = Bild(g) c) gof=g und fog=f <=> Kern(f)=Kern(g) Meine Ideen: a) Sei x im Folgenden sowohl Element von Ker(f), als auch von Bild(f). Dann existiert y in V mit f(y)=x (wobei x,y Element von V). und es gilt: f(x)=0 (da x E Ker(f)SCHNITT Bild(f)) => 0 = f(x), da x=f(y) folgt: f(x)=f(f(y)), da fof=f folgt: f(f(y))=f(y) und da f(y)=x folgt: f(y)=x, also: x=0 => f(x)=0=x, d.h. Bil(f) SCHNITT Kern(f) = {0} b) (1.) gof=f und fog=g => Bild(f)=Bild(g) (gof)(x)=g(f(x))=g(y), mit f(x)=y (fog)(x)=f(g(x))=f(y), mit g(x)=y daraus folgt: y=f(x)=g(x) und daraus folgt: Bild(f)=Bild(g) (2.) Bild(f)=Bild(g)=> gof=f und fog=g Ist Bild(f)=Bild(g), so gilt y=f(x)=g(x). Da gilt fof=f und gog=g => f(f(x))= f(x) und g(g(x))=g(x) da gilt f(x)=g(x), kann man f(x) mit g(x) vertauschen. Daraus folgt: f(g(x))=g(x) und g(f(x))=f(x) <=> fog=g und gof=f c)(1.) gof=g und fog=f => Kern(f)=Kern(g) (gof)(x)=g(f(x))=g(x) für f(x)=x (fog)(x)=f(g(x))=f(x) für g(x)=x, => f(x)=x=g(x) => Kern(g)=Kern(f) (2.) Kern(f)=Kern(g)=>gof=g und fog=f Wenn Kern(f)=Kern(g) gilt, so folgt: f(x)=x und g(x)=x, also g(x)=x=f(x). Es gilt: fof=f => f(f(x))=f(x) und gog=g => g(g(x))=g(x). Da g(x)=f(x), kann man beides durch das jeweilige andere ersetzen, daraus folgt: f(g(x))=f(x) un g(f(x))=g(x) => gof=g und fog=f Wäre super wenn jemand mal kurz drüber schaut und mir sagt, ob das so passt oder ob ich es falsch gemacht habe. Vielen Dank |
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01.12.2012, 20:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das macht keinen Spaß. Bitte benutze LATEX. Das findest Du hier unter Werkzeuge und heißt "Formeleditor". Als Button steht das oben und heißt "f(x)" . |
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02.12.2012, 14:12 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus) Ich kenne mich aber überhaupt nicht mit Latex aus |
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02.12.2012, 14:20 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)
Ist wirklich nicht schwierig mit Latex. Ich kenne mich damit auch so gut wie gar nicht aus. Aber im Formeleditor wird dir ja (fast) alles genau vorgegeben Und wenn dir irgend ein Symbol fehlt, einfach schnell nach der Bezeichnung googlen. |
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02.12.2012, 14:43 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus) a) Sei x im Folgenden sowohl Ker(f), als auch Bild(f). Dann existiert y in V mit f(y)=x (wobei x,y V). und es gilt: f(x)=0 (da x Ker(f) Bild(f)) 0 = f(x), da x=f(y) folgt: f(x)=f(f(y)), da fof=f folgt: f(f(y))=f(y) und da f(y)=x folgt: f(y)=x, also: x=0 f(x)=0=x, d.h. Bil(f) Kern(f) = {0} b) (1.) gof=f und fog=g Bild(f)=Bild(g) (gof)(x)=g(f(x))=g(y), mit f(x)=y (fog)(x)=f(g(x))=f(y), mit g(x)=y y=f(x)=g(x) und Bild(f)=Bild(g) (2.) Bild(f)=Bild(g) gof=f und fog=g Ist Bild(f)=Bild(g), so gilt y=f(x)=g(x). Da gilt fof=f und gog=g f(f(x))= f(x) und g(g(x))=g(x) da gilt f(x)=g(x), kann man f(x) mit g(x) vertauschen. f(g(x))=g(x) und g(f(x))=f(x) fog=g und gof=f c)(1.) gof=g und fog=f Kern(f)=Kern(g) (gof)(x)=g(f(x))=g(x) für f(x)=x (fog)(x)=f(g(x))=f(x) für g(x)=x, => f(x)=x=g(x) Kern(g)=Kern(f) (2.) Kern(f)=Kern(g) gof=g und fog=f Wenn Kern(f)=Kern(g) gilt, so folgt: f(x)=x und g(x)=x, also g(x)=x=f(x). Es gilt: fof=f f(f(x))=f(x) und gog=g g(g(x))=g(x). Da g(x)=f(x), kann man beides durch das jeweilige andere ersetzen, daraus folgt: f(g(x))=f(x) und g(f(x))=g(x) gof=g und fog=f Ich hoffe das passt jetzt so Habe das Verknüpfungssymbol zwar gefunden, aber das Zeichen wird hier irgendwie nicht erkannt. |
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