Bijektion zwischen Urbildmengen

01.12.2012, 19:11

Mai

Bijektion zwischen Urbildmengen

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe:

Seien G,H Gruppen und f: G -> H ein Gruppenhomomorphismus. Desweiteren seien $\begin{eqnarray*} h,h_1,h_2 \in\ f(G) \end{eqnarray*}$ .
[a) Sei $\begin{eqnarray*} g \in\ f^{-1}({h}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Urbildmenge wie folgt berechnet werden kann: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left\{ h\right\}) = \left\{ gk: k \in\ Kern(f)\right\} = \left\{ kg: k \in\ Kern(f)\right\} \end{eqnarray*}$ ]

b)Geben Sie eine Bijektion zwischen den Urbildmengen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left\{ h_1\right\}),f^{-1}(\left\{ h_2\right\}) \end{eqnarray*}$ an.

Mein Augenmerk liegt auf der b). Ich hab die a) noch angegeben, da sich die b) ja darauf beziehen kann.

Meine Ideen:
Ich bin etwas unsicher, welche Angaben ich für die Bijektion einfach selbst voraussetzen darf. Ich hab's jetzt mal so versucht:

Sei $\begin{eqnarray*} g_1 \in\ G, g_2 \in\ G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(g_1)=h_1, f(g_2)=h_2 \end{eqnarray*}$ . Es gelte zudem $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left\{ h_1\right\}) = \left\{ g_1k: k \in\ Kern(f)\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\left\{ h_2\right\}) = \left\{ g_2k: k \in\ Kern(f)\right\} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} | f^{-1}(\left\{ h_1\right\}) | = | f^{-1}(\left\{ h_2\right\}) | \end{eqnarray*}$ .

Man kann folgende Funktion angeben:

$\begin{eqnarray*} a: f^{-1}(\left\{ h_1\right\}) \rightarrow f^{-1}(\left\{ h_2\right\}), g_1k \mapsto g_2k \end{eqnarray*}$

Wegen der Gleichmächtigkeit, wäre die Funktion a surjektiv. Injektiv ist sie auch, da der Kern von f ja in beiden Mengen vorhanden ist und es dann nur noch von g1 und g2 abhängt. Aber darf ich die Gleichmächtigkeit einfach voraussetzen? Und ist die Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} g_1k \mapsto g_2k \end{eqnarray*}$ genau genug durch meine Angaben definiert, denn da f nicht zwangsläufig injektiv ist, könnten ja z.B. noch f(g3)=h1 und f(g4)=h2 sein. Das würde nichts an der Bijektion ändern, aber wie mache ich das in der Vorschrift deutlich?

Über Verbesserungsvorschläge und Tipps würde ich mich sehr freuen. smile

01.12.2012, 20:27

Mystic

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RE: Bijektion zwischen Urbildmengen
Warum gibst du die Abbildung von $\begin{eqnarray*} g_1 Kern(f) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} g_2 Kern(f) \end{eqnarray*}$ nicht so an:

$\begin{eqnarray*} g_1 k \mapsto (g_2g_1^{-1}) g_1k \quad (k \in Kern(f)) \end{eqnarray*}$

Damit ist klar, dass sie eine Bijektion ist, denn "retour" geht's mit

$\begin{eqnarray*} g_2 k \mapsto (g_1g_2^{-1}) g_2k \quad (k \in Kern(f)) \end{eqnarray*}$

01.12.2012, 20:42

Mai

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Stimmt, danke für den Tipp, damit ist es noch eindeutiger. Also, scheint meine Idee grundsätzlich nicht falsch gewesen zu sein, das freut mich. smile

Ist meine Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} | f^{-1}= (\left\{ h_1\right\}) | = | f^{-1}= (\left\{ h_2\right\}) | \end{eqnarray*}$ also zulässig oder muss ich das irgendwie anders formulieren?

01.12.2012, 21:07

Mystic

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Zitat:

Original von Mai
Ist meine Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} | f^{-1}= (\left\{ h_1\right\}) | = | f^{-1}= (\left\{ h_2\right\}) | \end{eqnarray*}$ also zulässig oder muss ich das irgendwie anders formulieren?

Erstens sehe ich nicht, wozu du diese brauchst und zweitens folgt sie ja ohnehin daraus, dass man eine Bijektion sogar explizit angeben kann...

01.12.2012, 21:26

shipwater

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@ Mystic: Spricht denn irgendwas gegen $\begin{eqnarray*} g_1k \mapsto g_2k \end{eqnarray*}$ ? Eigentlich kann ich hier mit $\begin{eqnarray*} g_2k \mapsto g_1k \end{eqnarray*}$ doch auch schnell die "Retour"vorschrift angeben oder übersehe ich hier etwas?

Danke, Gruß Shipwater

01.12.2012, 22:06

Mystic

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Naja, ich habe ja eigentlich oben nur ebendiese Abbildung genauer beschrieben, nämlich als Linksmultiplikation mit dem Element $\begin{eqnarray*} g_2g_1^{-1} \end{eqnarray*}$ der Gruppe... Linksmultiplikationen sind aber in jeder Gruppe Bijektionen, womit ein Zusammenhang zu einem bekannten Sachverhalt hergestellt wird... Augenzwinkern

01.12.2012, 22:09

shipwater

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Achso klar, danke.

Gruß Shipwater

01.12.2012, 23:53

Mai

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@Mystic: Mit der Gleichmächtigkeit wollte ich die Surjektivität sicherstellen, aber wenn ich das gar nicht brauche, ist es natürlich noch besser. Augenzwinkern

Warum sind Linksmultiplikationen in jeder Gruppe Bijektionen? Dieser Zusammenhang ist mir gerade nicht ganz klar.

02.12.2012, 00:22

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mai
Warum sind Linksmultiplikationen in jeder Gruppe Bijektionen? Dieser Zusammenhang ist mir gerade nicht ganz klar.

Seien zwei Elemente $\begin{align*} g_1,g_2\in G \end{align*}$ auf dasselbe Element $\begin{align*} g_3\in G \end{align*}$ via Linksmultiplikation mit $\begin{align*} g \end{align*}$ abgebildet: $\begin{align*} g g_1 = g g_2 = g_3 \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} g^{-1}g_3 = g_1\land g^{-1}g_3 = g_2\Rightarrow g_1 = g_2 \end{align*}$ . Da $\begin{align*} g G \end{align*}$ also gleich mächtig wie $\begin{align*} G \end{align*}$ , ist $\begin{align*} l_g : G\to G, g_i\mapsto g g_i,\forall g_i\in G \end{align*}$ eine Bijektion.

02.12.2012, 12:07

Mystic

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Da $\begin{align*} g G \end{align*}$ also gleich mächtig wie $\begin{align*} G \end{align*}$ , ist $\begin{align*} l_g : G\to G, g_i\mapsto g g_i,\forall g_i\in G \end{align*}$ eine Bijektion.

Dieses Argument verstehe ich jetzt nicht so ganz... Aber wär's nicht überhaupt einfacher ein Urbild unter $\begin{eqnarray*} l_g \end{eqnarray*}$ von einem $\begin{eqnarray*} h\in G \end{eqnarray*}$ einfach explizit anzugeben, nämlich $\begin{eqnarray*} g^{-1}h \end{eqnarray*}$ ?

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