Polynomkongruenz

01.12.2012, 20:34

Rambo

Polynomkongruenz

Meine Frage:
HI. Sei $\begin{eqnarray*} f=x^3+x^2+1 \end{eqnarray*}$ . Schreiben Sie $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb F _2[x]/(f) \end{eqnarray*}$ als ein Produkt von irreduziblen Polynomen.

Meine Ideen:
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb F _2[x]/(f)=\left\{0,1,x,x+1,x^2,x^2+x,x^2+x+1,x^2+1\right\} \end{eqnarray*}$ . Muss ich jetzt einfach jedes Element in f einsetzen und schauen ,ob sich null ergibt?

01.12.2012, 20:44

Mystic

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RE: Polynomkongruenz
Ist es nicht trivial, dass

$\begin{eqnarray*} x,x^2,x^4 \mod f \end{eqnarray*}$

die Nullstellen sind? verwirrt

01.12.2012, 20:50

Rambo

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Also das x eine Nullstelle ist kann ich noch nachvollziehen Big Laugh

Für mich ist das nicht trivial. Außerdem liegt doch x^4 nicht in der Menge. Kannst du vllt erklären warum x^2 Nullstelle ist. Den Rest kann ich mir danach überlegen

01.12.2012, 20:54

Mystic

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Na, wenigstens dass x Nullstelle ist, sollte noch trivial sein, wegen

$\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 \equiv 0 \mod f(x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt quadrier mal dieses Gleichung, um zu sehen, dass auch x² Nullstelle ist... Und jetzt quadrier noch einmal, um zu sehen, dass auch (x²)² mod f(x) Nullstelle ist... Und dass letzeres Element nicht in deinem Körper liegt (mod f(x) wohlgemerkt!) ist jetzt wohl nicht dein Ernst, oder doch? verwirrt

01.12.2012, 21:28

Rambo

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Also: $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+1)^2=x^6+x^4+1=f(x^2)\equiv 0 \bmod f \end{eqnarray*}$ . Für x^4 ähnlich. Aber wie konntest du das so schnell erkennen? Big Laugh

Danke für die Hilfe

01.12.2012, 21:33

Rambo

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Und damit $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)= (1+x)(1+x^2)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

01.12.2012, 21:58

Mystic

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Zitat:

Original von Rambo
Also: $\begin{eqnarray*} (x^3+x^2+1)^2=x^6+x^4+1=f(x^2)\equiv 0 \bmod f \end{eqnarray*}$ . Für x^4 ähnlich. Aber wie konntest du das so schnell erkennen?

Naja, in einem Körper der Charakteristik p ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^p \end{eqnarray*}$ bekanntlich ein Automorphismus, der die Elemente des Primkörpers festlässt...

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