Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen

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KA88 Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Hallo,

ich möchte die isolierten Singularitäten für und die zugehörigen Residuen bestimmen.
Für die Singularitäten habe ich mir jene gesucht, für die die gilt. Dafür habe ich herausbekommen:
.

1.) Wenn ich es richtig verstanden habe, kann ich f dann um eine isolierte Singularität in eine Laurentreihe entwickeln, und zwar für alle z, die keine Singularität von f sind.
Ist dann das Residuum von f bezüglich der Laurentreihenentwicklung bzgl. gleich jenem für ? Oder muss ich die Residuuen in Abhängigkeit von k bestimmen?

2.) Wenn ich nun mal z.B. für das Residuum bestimmen will, dann muss ich ja entweder die Laurentreihe zu f bzgl der Singularität aufstellen und dann ablesen, oder ich berechne , wobei der Weg die Randkurve des Kreises um 0 mit Radius r bezeichnet (r < R).
Mein Problem ist nun: Das Integral sieht recht kompliziert aus, ich habe keine Ahnung wie ich das konkret berechnen sollte, oder sieht da jemand was? Und wie ich von so einer Funktion zu einer Laurentreihe kommen soll ist mir auch schleierhaft. Weiß jemand wie das geht?
Oder gibt es noch einen anderen Weg?

Danke!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für das Residuum brauchst du gar nicht die gesamte Laurent-Reihe. Es genügt der Koeffizient von . Nehmen wir einmal die Singularität . Mit der Potenzreihe des Cosinus folgt:



Und dann der Übergang zum Kehrwert:



Der zweite Bruch bestimmt eine gerade holomorphe Funktion mit Wert an der Stelle und läßt sich daher in der Form mit geeigneten Koeffizienten schreiben. Was ist also das Residuum bei ?

Um das Residuum bei zu bestimmen, kannst du wegen der Periodizität des Cosinus folgendermaßen rechnen:



Wenn nun in einer Umgebung von liegt, liegt in einer Umgebung von . Du kannst daher wie oben weiterrechnen mit statt .
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zum ersten Teil:

Woran sehe ich, dass der Bruch eine holomorphe gerade Fkt ist? Ich meine, der Nenner hat doch auch wieder Nullstellen (nur eben nicht bei )
und daher dürfte der Bruch doch eigentlich keine holomorphe Fkt sein (oder meinst du das nur eingeschränkt auf einen Kreis um der keine weitere Singularität enthält)?
Woher weiß man, dass die Fkt gerade ist?

Wenn das so ist, dann ist
, also ist das Residuum 0, da hier nicht auftaucht, richtig?
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum zweiten Teil:

Das heißt, ich kann einfach in den Gleichungen zum ersten Teil z durch ersetzen und erhalte dann auch wieder, dass das Residuum 0 ist, richtig?

Im Allgemeinen kann man aber nicht annehmen, dass für zwei verschiedene Singularitäten gilt, oder?

Danke schonmal für die Hilfe bis hierher,
Mischa
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, Klammer vergessen:
Ich meinte:
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Zitat:
Original von KA88
oder ich berechne , wobei der Weg die Randkurve des Kreises um 0 mit Radius r bezeichnet (r < R).
Mein Problem ist nun: Das Integral sieht recht kompliziert aus, ich habe keine Ahnung wie ich das konkret berechnen sollte, oder sieht da jemand was?

Für gerade Funktionen ist dieses Integral grundsätzlich Null...

Und:
Zitat:
Original von KA88
Im Allgemeinen kann man aber nicht annehmen, dass für zwei verschiedene Singularitäten gilt, oder?

Nein, kann man nicht.
Betrachte z.B. .
 
 
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Danke für das Beispiel!

Leider weiß ich immer noch nicht (wie ich oben geschrieben habe), warum bzw. der Bruch in der Antwort von Leopold gerade ist...

Ist das Integral deshalb Null, weil gerade Fkten in einer klein genugen Umgebung von 0 holomorph sind und der Weg daher nullhomotop ist? Aber ist doch bei 0 nicht holomorph... ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Dass der Cosinus gerade ist, weißt du aber, oder?

Zum Integral: Zerlege den Kreis mal in zwei Halbkreise. Wie verhält sich die Funktion auf denen jeweils?
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Gerade bedeutet doch !? Das der cos und auch 1- cos und dann auch unsere Funktion das erfüllt sieht man recht leicht daran, dass in der Reihendarstellung von cos nur gerade Hochzahlen vorkommen.

Wenn ich jetzt mal als Randkurve des Halbkreises für den der Imaginärteil größer Null ist und als Randkurve des Halbkreises für den der Imaginärteil kleiner Null ist auffasse, dann ist doch

.

Es gilt dann aber wegen f(z) = f(-z) z.B.

also
.

Aber wie wird das ganze dann Null?
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Hatte einen Denkfehler bei der letzten Gleichung:
Ausführlicher erkennt man:











Stimmt das so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Sieht gut aus.
KA88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Ich wollte eine exemplarische AUfgabe lösen und habe die allgemeine Erkenntnis bekommen, dass Integrale längs Kreisen um die Null einer geraden Fkt. immer Null sind. Das ist echt super! Vielen Dank!

Ich bin noch neu hier und weiß nicht, ob man Fragen irgendwo als beantwortet abhaken muss. Ist das so? Wenn ja, wo macht man das?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuum von 1/(1-cos(z)) bestimmen
Nein, hier wird nichts abgehakt.

Die Aussage kannst du dir auch nochmal veranschaulichen:
Du gehst über zwei Halkreise, auf denen die Funktion dieselben Werte annimmt. Einer davon ist allerdings "das negative des anderen".
Analog zum reellen Fall:

für gerades .
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