Limes Superior, limes inferior

01.12.2012, 22:39

ladymath

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Limes Superior, limes inferior

Meine Frage:
Hallo!

Ich soll Limes superior und inferior der Folgen

$\begin{eqnarray*} a_{n} = cos (\frac{n(n+1)}{2}*\pi) \end{eqnarray*}$

ermitteln.

Meine Ideen:
Ich habe mir das ganze erst einmal tabellarisch dargestellt.

n cos(...)
1 -1
2 -1
3 1
4 1
5 -1
6 -1
...

Demnach müsste $\begin{eqnarray*} \mathrm{lim \, sup}_{n\to\infty} = 1, \mathrm{lim \, inf}_{n\to\infty} = -1 \end{eqnarray*}$ sein.

Doch wie zeige ich das jetzt und wie komme ich auf die Teilfolgen?

01.12.2012, 22:45

Che Netzer

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RE: Limes Superior, limes inferior
Teilfolgen braucht man hier eigentlich gar nicht, man muss nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \pm1 \end{eqnarray*}$ annimmt und begründen, wieso beide Werte auch unendlich oft angenommen werden. Das dürfte einfacher sein. (wobei man letzteres auch über Teilfolgen machen könnte)

01.12.2012, 22:51

Stefan_TM

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RE: Limes Superior, limes inferior
Hallo ladymath,

cos[(2k+1)*pi]=-1
cos(2*k*pi) = 1, wo k eine ganze Zahl ist
Diese Inf und Sup Werte werden immer erreicht, wenn n(n+1)/2 eine ungeade, bzw. gerade Zahl ist.

01.12.2012, 23:55

ladymath

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Jetzt müsste ich doch nur noch zeigen, dass der Grenzwert dieser Teilfolgen -1 bzw. 1 ist.

Also
$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{k\to\infty} cos(2k+1)*\pi=-1,<br /> \mathrm{lim}_{k\to\infty} cos(2*k*\pi) = 1 \end{eqnarray*}$

01.12.2012, 23:58

Che Netzer

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Welche Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ betrachtest du denn?

02.12.2012, 10:31

ladymath

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Ich betrachte die beiden:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{k\to\infty} cos(2k+1)*\pi=-1, \end{eqnarray*}$ , wenn n(n+1)/2 ungerade ist.
und
$\begin{eqnarray*} \mathrm{lim}_{k\to\infty} cos(2*k*\pi)=-1, \end{eqnarray*}$ , wenn n(n+1)/2 gerade ist.

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02.12.2012, 12:13

Che Netzer

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Das sind keine Teilfolgen, das sind Grenzwerte.

02.12.2012, 12:33

ladymath

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Es gibt doch zwei Teilfogen.

cos[(2k+1)*pi] und
cos(2*k*pi)

für n(n+1)/2 ungerade/ gerade

02.12.2012, 12:40

Che Netzer

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Du musst aber zeigen, dass das tatsächlich Teilfolgen sind.
Wäre die ursprüngliche Folge $\begin{eqnarray*} \cos(n!\pi) \end{eqnarray*}$ , würde das so nicht mehr funktionieren.

02.12.2012, 12:59

ladymath

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Und wie zeigt man dies?

Über die Konvergenz? ich weiß ja schließlich, dass jede Teilfolge von an gegen denselben Grenzwert konvergiert wie die Folge.

02.12.2012, 13:04

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert doch überhaupt nicht verwirrt

verwirrt

Gib lieber zwei konkrete Teilfolgen an.
In der ersten ist $\begin{eqnarray*} n=\dotso \end{eqnarray*}$ etc.
Oder zeige, dass Eins und Minus Eins jeweils unendlich oft angenommen werden und sonst kein Wert. Wie schon von Anfang an vorgeschlagen...

02.12.2012, 14:02

ladymath

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Zitat:

Original von Che Netzer

Gib lieber zwei konkrete Teilfolgen an.
In der ersten ist $\begin{eqnarray*} n=\dotso \end{eqnarray*}$ etc.

Worauf willst du hinaus. Dass n einmal gerade und ungerade ist...

Zitat:

Original von Che Netzer
Oder zeige, dass Eins und Minus Eins jeweils unendlich oft angenommen werden und sonst kein Wert. Wie schon von Anfang an vorgeschlagen...

Das kann man per induktion zeigen?

02.12.2012, 14:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von ladymath
Worauf willst du hinaus. Dass n einmal gerade und ungerade ist...

Nein, ob $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade ist, ist für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht von Interesse.
Ich möchte darauf hinaus, dass du keine konkrete Teilfolgen angegeben hast.

Zitat:

Das kann man per induktion zeigen?

Und wie?

02.12.2012, 14:43

ladymath

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ICh behaupte, dass für ungerades n(n+1)/2 gilt, dass an=-1, und für n(n+1)/2 gerade gilt an= 1

IA: $\begin{eqnarray*} a_{n} = cos (\frac{1(1+1)}{2}*\pi) = cos (\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_{n} = cos (\frac{3(3+1)}{2}*\pi) = cos (6*\pi)=1 \end{eqnarray*}$

1. IV: $\begin{eqnarray*} cos (2*k*\pi) = 1 \end{eqnarray*}$
IS: k->k+1
$\begin{eqnarray*} cos (2*(k+1)*\pi) = cos((2k+2)*\pi)= ?? \end{eqnarray*}$

2. IV: $\begin{eqnarray*} cos (2*(k+1)*\pi) = 1 \end{eqnarray*}$
IS: k->k+1
$\begin{eqnarray*} cos ((2*(k+1)+1)*\pi) = cos((2k+3)*\pi)= ?? \end{eqnarray*}$

richitg?
wie müsste ich jetzt weiter machen?

02.12.2012, 15:26

Che Netzer

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Das ist ja in Ordnung.
Aber jetzt musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich unendlich oft gerade bzw. ungerade (und sonst nichts) ist.

02.12.2012, 15:39

ladymath

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Ich weiß jetzt nicht, wie ich da rangehen soll um das zu zeigen.

Hättest du vielleicht einen Ansatz?

02.12.2012, 15:52

Che Netzer

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Zunächst einmal sollte klar sein, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} a_n=\pm1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun ... ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aber ..., dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=-1 \end{eqnarray*}$ .
Beide Fälle sollten unendlich oft auftreten.

02.12.2012, 16:19

ladymath

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Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun 2*k+1 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aber 2*k dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=-1 \end{eqnarray*}$ .

Meinst du so.

02.12.2012, 16:33

Che Netzer

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Eben nicht. Dise Unterscheidung nach gerade/ungerade gilt so nur für $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ .

02.12.2012, 17:05

ladymath

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1. Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun ... ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ .
wenn n = 3,4,7,8,11,12,... ist trifft dies zu.

2. Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aber ... dann ist $\begin{eqnarray*} a_n=-1 \end{eqnarray*}$ .
wenn n=1,2,5,6,9,10,.. ist trifft dies zu.

Welche Folge beschreibt nun dieses Verhalten von n?

02.12.2012, 17:07

Che Netzer

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Du brauchst nicht die gesamte Folge.
Was kann man von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ fordern, damit $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ gerade ist?

02.12.2012, 17:22

ladymath

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Das das eine Potenz von dem sein muss.

02.12.2012, 17:24

Che Netzer

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Wenn also "das" eine Potenz von "dem" ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ gerade?
Ich habe nicht die geringste Ahnung, was du damit sagen möchtest...

02.12.2012, 17:39

ladymath

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Vergessen wir das davor...

Also damit $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, muss man n so wählen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ ist. k ist eine Formel, die eine gerade Zahl liefert.

02.12.2012, 17:42

Che Netzer

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verwirrt

Nenne eine einfache Bedingung an $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , unter der $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ durch Zwei teilbar ist.

02.12.2012, 17:51

ladymath

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n muss durch zwei teilbar sein.

02.12.2012, 17:53

Che Netzer

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Das genügt nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{2(2+1)}2=3\,. \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 18:03

ladymath

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$\begin{eqnarray*} n= \frac{4*n}{2} \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 18:07

Che Netzer

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Also $\begin{eqnarray*} n=2n \end{eqnarray*}$ ? Das ist nur für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Was wolltest du mit dieser Gleichung eigentlich aussagen? Vielleicht hört sich das in Worte gefasst ja besser an.

02.12.2012, 18:26

ladymath

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Meine Gedanken dazu waren so.

Wenn ich eine Zahl habe, die mit 4 multipliziert wird, dann ergibt deren Produkt eine gerade Zahl, welche durch zwei teilbar ist.

Da n+1 durchaus ungerade sein kann, ergibt n(n+1) wieder eine durch zwei teilbare Zahl. Folglich ist $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ gerade.

02.12.2012, 18:27

Che Netzer

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Du möchtest hoffentlich darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch Vier teilbar sein soll.
Ja, dann ist der Bruch gerade.
Und wann ist er ungerade?

02.12.2012, 18:38

ladymath

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Dies ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{4*n+1}{2} \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 19:30

Che Netzer

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Eine Aussage wäre an dieser Stelle sinnvoller als ein Term.

02.12.2012, 21:48

RavenOnJ

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Das ist jetzt zwar off-topic, aber viel interessanter ist die Frage, was $\begin{eqnarray*} \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{n\to\infty}\cos(n),n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist.

02.12.2012, 22:16

Che Netzer

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Eins, denn da $\begin{eqnarray*} 2\pi\notin\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} \{n+2\pi m\} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

03.12.2012, 00:11

RavenOnJ

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Spielverderber, mir war klar, dass du das beantworten kannst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das war eigentlich eher für andere gedacht.

03.12.2012, 08:14

Che Netzer

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Hoppla, tut mir leid smile

smile

Aber lesen hier denn noch so viele mit?
Von dem Fragesteller (der Fragestellerin?) hätte ich jedenfalls nicht die Antwort erwartet Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2012, 09:16

RavenOnJ

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Bei Letzterem hast du wohl recht, aber es lesen anscheinend schon einige mit, zumindest gestern. Natürlich nicht nach Mitternacht.

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