Polynomring und -funktionen

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02.12.2012, 02:01	Rabe	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring und -funktionen Meine Frage: Hallo, ich habe ein echt gwaltiges Problem mit dieser Aufgabe: Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} \varphi: K\left[X\right] \rightarrow Abb\left(K,K\right) \end{eqnarray}$ der Ringhomomorphismus, der jedem Polynom $\begin{eqnarray} f = \sum\limits_{i=0}^n a_iX^i \in\ K\left[X\right] \end{eqnarray}$ die Polynomfunktion $\begin{eqnarray} \varphi: K \rightarrow K \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} z \mapsto f(z) = \sum\limits_{i=0}^n a_iz^i \end{eqnarray}$ zuordnet. a) Finden Sie für $\begin{eqnarray} K = \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ zwei Polynome $\begin{eqnarray} f \neq g \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} \varphi(f) = \varphi(g) \end{eqnarray}$ ist. b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ genau dann injektiv ist, wenn K unendlich ist. c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nicht surjektiv ist, wenn K unendlich ist. Meine Ideen: Diese Polynome verwirren mich total. Ich hab mir zwar alle Definitionen angesehen und weiß im Prinzip auch, was Polynome sind, aber ich kann einfach nicht mit ihnen umgehen. Ich hab erstmal nur die a) probiert, weil ich bei b) und c) überhaupt keine Ahnung hab, was zu tun ist, aber bei der a) komm ich leider auch nicht weit : $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2 \mathbb Z = (\left[0\right], \left[1\right]) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f = \sum\limits_{i=0}^n a_iX^i \in\ K\left[X\right] \neq g = \sum\limits_{i=0}^n b_iX^i \in\ K\left[X\right] \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a_i \neq b_i \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f(z) = g(z) \end{eqnarray}$ , muss z=[0], aber das wäre irgendwie zu einfach, weil dann ja beide Summen 0 wären. Aber z ist doch ein Wert und keine Funktion, oder? Eigentlich muss man ja alles ineinander einsetzen, aber ich erkenne dabei nichts. Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand allgemein erklären könnte, wie die Polynome miteinander zusammenhängen, was eigentlich wo eingesetzt werden muss und was ich dann erhalte. Denn alleine schaffe ich die Aufgabe niemals... Schon mal danke im Voraus.
02.12.2012, 07:40	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring und -funktionen hallo, für a) hätte ich schonmal eine idee: nimm doch die polynome f(x)=x und g(x)=x^2, die sind verschieden, "verhalten" sich aber gleich, weil man für x nur 0 oder 1 einsetzen darf, es gilt also f ungleich g, aber phi(f)=phi(g) über K. gruss ollie3
02.12.2012, 16:34	Rabe	Auf diesen Beitrag antworten »
@ollie3: Vielen Dank für deine Antwort! Dank deines Beispiels kann ich mir das Ganze nun auch etwas besser vorstellen. Ich hab dann mal versucht bei der b) weiterzumachen: $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist injektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ K unendlich. $\begin{eqnarray} 0_R = (0,0,0,...) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1_R = (1,0,0,...) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist ja nach Voraussetzung ein Ringhomomorphismus. Sei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv, dann ist $\begin{eqnarray} Kern(\varphi): \left\{ f \in\ K: \varphi(f) = 0_S\right\} \end{eqnarray}$ . Wäre f dann ein Nullpolynom? Ich weiß aber nicht, wie ich damit auf die Unendlichkeit von K schließen soll. Welche Eigenschaft muss K denn erfüllen, um unendlich zu sein? Wenn irgendjemand eine Idee hat, wäre ich für etwas Hilfe wirklich sehr dankbar.
02.12.2012, 16:42	Stefan1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Studierst du am KIT? Ich hab genau die gleiche Aufgabe und keine Ahnung bei b und c
02.12.2012, 17:03	charlydelta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sitz grad auch an dieser Aufgabe. Das scheint plausibel @ollie3, trotzdem verstehe ich hier grundlegendes nicht: Z.B. ist phi(f):K->K definiert als: z \|-> f(z) und ich frage mich: was ist z? wo kommt z her? z müsste doch ein Parameter von phi sein, also sowas wie phi(f)(z) oder wie? Ich verstehe die Handhabung nicht, und der Threadersteller scheint ein ähnliches Problem zu haben... Edit: Okay, anscheinend nicht mehr, sorry Rabe Trotzdem komm ich noch immer nicht mit den 2 Abbildungen klar die hier irgendwie ineinander geschachtelt werden...
02.12.2012, 17:37	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, jaja, die sache ist ziemlich tricky, die funktion phi beschreibt die werte, die die polynome annehmen, und f und g sind die polynome selbst. Ich finde a) ist eine gute vorüberlegung für die aufgaben b) und c). Zu b) Kann es sein, das 2 verschiedene polynome g und h sich immer gleich verhalten, wenn man für x die gleichen werte einsetzt? Das würde das ja bedeuten, wenn phi nicht injektiv wäre, das geht aber nicht, wenn K unendlich ist. Und jetzt überlegt mal warum... gruss ollie3
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02.12.2012, 22:31	charlydelta	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich kann das nicht sein, aber ich weiß nicht wie ich das begründen kann. bei Z/2Z z.b. liegts daran da K endlich ist und eben nur die neutralen elemente hat, welche dann die gleichheit zweier unterschiedlicher polynome verursachen. sobald aber mehr werte dazu kommen geht das eben nicht mehr auf.
03.12.2012, 08:01	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, bei b) ist ja zu untersuchen, ob aus phi(f)=phi(g) automatisch f=g folgt. Mein tip: nutze phi (f-g)=phi(f)-phi(g) aus, und f-g ist ja ein von 0 verschiedenes polynom, was nur endlich viele nullstellen haben kann. Dann merkst du, das es wichtig ist, ob K endlich oder unendlich ist... gruss ollie3
04.12.2012, 16:50	charlydelta	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay hat geklappt, vielen Dank für deine Unterstützung ^_^ Ich denke, dass ich jetzt alles verstanden habe :-) Liebe Grüße, Chris

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