Unterhalbstetig

02.12.2012, 10:35

Nici 5

Unterhalbstetig

Meine Frage:
Ich sitze schon seit Tagen an einer Aufgabe und komme nicht weiter, wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Wir haben die Stetigkeit bis jetzt nur mit dem e-d Kriterium besprochen.
Wir sagen, dass eine Funktion f:R^n-> R im Punkte x e R unterhalbstetig ist, wenn es für alle unteren Schranke c< f(x) ein d>0 existiert, so dass für alle Punkte y e Bd (x) gilt f(y)>c.
Weisen Sie nach, dass eine Funktion f: R^n-> R, die in x stetig ist, auch in x unterhalbstetig ist.

Meine Ideen:
Da wir wissen das f im Punkt x stetig ist, gilt nach dem e-d-Kriterium und der Definition der Stetigkeit: |y-x|<d, y e R^n-->|f(y)-f(x)|<e
Meine Idee war, dass es auch gelten muss |f(y)-c|<e, da c<f(x). Und ab hier komme ich nicht mehr weiter und verzweifle schon. Über jede Hilfe bin ich daher sehr dankbar.

02.12.2012, 16:41

EinGast

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RE: Unterhalbstetig
Sei $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c<f(x) \end{eqnarray*}$ . Wir müssen ein $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ finden so, dass $\begin{eqnarray*} f(y)>c \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} y\in B_d(x) \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|f(y)-f(x)\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y\in B_\delta(x) \end{eqnarray*}$ , dh der Abstand von $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie werden wir also $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen?

02.12.2012, 18:11

Nici 5

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RE: Unterhalbstetig
Danke für die Antwort. smile

Ich versteh nicht bzw. ich komme nicht genau drauf, wie ich das Epsilon wählen muss. Epsilon muss ja so groß sein,damit es größer ist als der Abstand von f(y) zu c, oder? Da c kleiner als f(x) ist,vergrößert sich der Abstand als f(y) zu f(x). Bin ich da auf dem richtigen Weg?

02.12.2012, 18:50

EinGast

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RE: Unterhalbstetig

Zitat:

Original von Nici 5
Epsilon muss ja so groß sein,damit es größer ist als der Abstand von f(y) zu c, oder?

vielleicht nur ein Schreibfehler, jedenfalls sollte $\begin{eqnarray*} 0\le \epsilon\le f(y)-c \end{eqnarray*}$ gewählt werden. Wie kann man dann dazu das verlangte $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ finden?

02.12.2012, 18:57

EinGast

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RE: Unterhalbstetig
sorry, es sollte $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon\le f(y)-c \end{eqnarray*}$ sein - Epsilon sollte nicht gerade Null sein^^

02.12.2012, 18:59

Nici 5

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Ich fühl mich gerade total blöd, weil ich darauf nicht komme. Aber wenn epsilon kleiner gleich f(y)-c sein kann,muss delta dann nicht auch kleiner als y-a sein, wobei f(a)=c ist.

02.12.2012, 20:09

EinGast

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ich verstehe leider nicht, wovon du sprichst. Aber wenn du dir eine Skizze machst, siehst du, worauf es hinausläuft

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