Wie funktioniert dieser Beweis? Induktion? Ich komme hier nicht weiter...

02.12.2012, 14:17	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert dieser Beweis? Induktion? Ich komme hier nicht weiter... Meine Frage: Sei x Element von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ohne 0, sodass x + 1/x eine ganze Zahl ergibt. Zeigen Sie, dass x^n + 1/(x^n) für alle n aus den natürlichen Zahlen auch eine ganze Zahl ergibt. Meine Ideen: x+(1/x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x^n/(1+x^n) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z. Induktionsanfang: x+(1/x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x^1/(1+x^1) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z Induktionsschritt: Hier komme ich nicht weiter. Natürlich muss man n+1 für n einsetzen, aber beweisen, dass das dann stimmt, kann ich nicht... Danke im Voraus
02.12.2012, 14:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze mal $\begin{eqnarray} a_n = x^n+\frac{1}{x^n} \end{eqnarray}$ . Rechne nun mal nach, dass $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_1 a_n - a_{n-1} \end{eqnarray}$ gilt. Der Rest ist dann Induktion.
02.12.2012, 14:31	Tanni1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist x bei dir was anderes als a? Ich hatte versehentlich oben ein a statt x in die Gleichung geschrieben...

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