lineare Optimierung |
| 02.12.2012, 16:25 | neosion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineare Optimierung wir haben gerade in der Schule lineare Optimierung und ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Es geht um ein Taxiunternehmen, welches 30 Taxis angefordert werden. 12 gehen zum Krankenhaus, 13 zum Fussballstadio und 5 zum Zoo. Beim Bahnhof stehen 20 Taxis bereit und beim Theater 10. Jetzt soll die Summe der Anfahrtszeiten möglichst klein sein. Ausserdem weiss man, dass die Strecke Bahnhof-Krankenhaus 7 Minuten dauert, Bahnhof - Fussballstadion 8 Minuten, Bahnhof - Zoo 3 Minuten, Theater - Krankenhaus 5 Minuten, Theater-Fussballstadion 5 Minuten und Theater-Zoo 2 Minuten. Ich habe nun Variablen definiert: x:Bahnhof-Krankenhaus y:Theater - Krankenhaus u:Bahnhof - Fussballstadion v:Theater-Fussballstadion w:Bahnhof - Zoo s:Theater-Zoo Nun habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt: (1)x,y,u,v,w,s grösser als 0 (2)x+u+w=20 (3)y+v+s=10 (4)x+y=12 (5)u+v=13 (6)w+s=5 Nun wollte ich dieses Gleichungssystem so auflösen, dass ich am Ende nur 2 Variablen in einer Gleichung habe, die ich jedoch auch bei der Zielfunktion(8x+5y+8u+5v+3w+2s=z) haben kann, wenn ich die entsprechenden Einsetzungen mache, damit ich am Ende eine Gleichung mit 2 Variablen habe und eine Zielfunktion mit den gleichen beiden Variablen, die ich dann grafisch darstellen kann. Nun habe ich irgendwie ein Problem, denn mir gelingt es irgendwie nicht, wahrscheinlich mache ich irgendetwas falsch. Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. Lg. Neosion |
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| 02.12.2012, 17:22 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, es handelt sich hier, wie du selber schreibst, um lineare Optimierung. Hierfür wendet man in aller Regel die Simplex-Methode bzw. das Simplex-Verfahren an. Deshalb erstmal meine Frage: Hast du schon einmal etwas davon gehört? Schau ruhig mal in deinen Unterlagen nach, ob dort irgendwo der Begriff auftaucht. Im Unterricht muss der Begriff auch schon gefallen sein. Geht gar nicht anders. Grüße. |
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| 02.12.2012, 17:41 | neosion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort. Wir haben erst mit der linearen Optimierung angefangen und das Simplex-Verfahren haben wir noch nicht behandelt. Wir haben nur Ungleichungen grafisch dargestellt und dann die Zielfunktion definiert und auch in das Koordinatensystem übertragen. Dann schauten wir einfach, wo bei den Graphen der Ungleichungen z bei der Zielfunktion am kleinsten oder am grössten ist und dann haben wir den jeweiligen Punkt berechnet, so wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Simplex-Ver...eispielrechnung also das mit der Überführung in Gleichungen haben wir nicht gemacht, wir haben dann einfach den Punkt berechnet, wo z am grössten ist, da es der Schnittpunkt 2 Funktionen ist, die wir kennen. |
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| 02.12.2012, 18:07 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist, dass man die grafische Lösung nur bestimmen kann, wenn man 2 Variablen hat (Siehe das Beispiel). Du hast hier aber 6 Variablen. Somit ist eine graphische Lösung ausgeschlossen. Die Aufgabe ist auch für den Einstieg eingentlich viel zu schwierig. Mein Vorschlag ist folgender: Erstmal überhaupt das Problem erstmal richtig mathematisch darzustellen: Das hier kann man so lassen: Bei der Variablendefinition würde ich eine kleine Modifikation vorschlagen: x:Anzahl der Fahrten Bahnhof-Krankenhaus y:Anzahl der Fahrten Theater - Krankenhaus u:Anzahl der Fahrten Bahnhof - Fussballstadion v:Anzahl der Fahrten Theater-Fussballstadion w:Anzahl der Fahrten Bahnhof - Zoo s:Anzahl der Fahrten Theater-Zoo Hier auch: (1)x,y,u,v,w,s grösser/gleich 0 Es kann z.B. auch kein Taxi vom Theater zum Fussballstadion fahren. Diese zwei Gleichungen sind nicht richtig, wenn auch nur geringfügig: (2)x+u+w=20 (3)y+v+s=10 Es können ja nur höchstens 20 Taxis eine Fahrt am Bahnhof aufnehmen (1. Nebenbedingung). Und es können nur höchstens 10 Taxis am Theater aufnehmen (2. Nebenbedingung) Was muss also bei den beiden Nebenbedingungen geändert werden ? |
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| 02.12.2012, 18:41 | neosion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also es stehen ja für den Auftrag 20 Taxis am Bahnhof und 10 Taxis am Theater bereit und alle werden für den Auftrag gebraucht. Das heisst, es werden nicht höchstens 20 Taxis vom Bahnhof eine Fahrt unternehmen müssen, sondern alle. Jedes Taxi unternimmt eine Fahrt, so wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe. Also sollten, glaube ich, meine Gleichungen stimmen. Und entschuldigung für meine etwas unsaubere mathematische Darstellung, bin etwas heute knapp bei Zeit. 
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| 02.12.2012, 19:03 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast recht. Die Gleichheitszeichen sind berechtigt. Du hast 5 Gleichungen und 6 Variablen. Ich würde jetzt Gleichung 4,5, und 6 nach x,u und v auflösen und die entsprechenden Terme in die Gleichung 1 einsetzen. Mit der Gleichung 2 hättest du dann 2 Gleichungen mit den Variablen y,v und s. Das würde ich erst einmal machen. |
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| 02.12.2012, 19:24 | neosion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich nehme an, du meinst, in die Gleichung 2 einsetzen. Da (1) x,y,u,v,w,s grössergleich als 0 ist. Das habe ich schon gemacht. Das Problem ist hier, dass wenn ich es korrekt auflöse und einsetze, bekomme ich nichts anderes als die Gleichung 3 und so habe ich 2 Gleichungen (2) und (3), die dann gleich sind. Das ist jetzt mein Problem. Ich weiss nicht, wie weiter, da ich jetzt die beiden Gleichungen nicht subtrahieren kann, da sie gleich sind. |
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| 02.12.2012, 22:20 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe das gleich Problem. Letztendlich kann man eine Variable nur durch 2 andere Variablen ausdücken. Wenn man jetzt annimmt, dass v und y die unabhängigen Variablen sind, dann ergeben sich folgende Beziehungen: y=12-x v=13-u s=10-y-v w=-5+y+v Damit lässt sich eine graphische Lösung nicht realisieren. Mir fällt dann doch nur der Simplex ein. Was dich aber nicht viel weiterbringt. Eine andere Idee habe ich im Moment nicht. Grüße. |
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| 02.12.2012, 22:24 | neosion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, vielen Dank für deine Hilfe. |
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| 02.12.2012, 22:29 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gerne. Wenn ihr die Aufgabe besprochen habt, kannst du ja mal posten, was insbesondere der Lehrer sich vorstellt, wie die Aufgabe seiner Meinung nach zu lösen gewesen wäre. |
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