Verständnisprobleme bei Grenzwerten

11.02.2007, 15:20

Baldessarini

Verständnisprobleme bei Grenzwerten

Hallo Leute !

Ich habe momentan ein paar Probleme mit Grenzwerten .

Und zwar geht es darum ...

Das Prinzip von Grenzwerten verstehe ich wirklich absolut ! Im Prinzip braucht man es nur, um zu erkennen , welche Steigung eine Funktion mit Kurven hat, denn das ist ja nicht so einfach nachlesbar.

Also bringt man die Punkte immer näher einanander .... immer näher und näher aber nie so , dass die Punkte identisch werden. [Widersprecht mir, wenn ich das jetzt falsch erklärt habe]

In Aufgaben verstehe ich aber Limes überhaupt nicht , z.B. :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}~{\frac{x^2+1}{x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Da steht dann als Lösung oo . Aber warum denn ? Ich setze für x=1 ein, dann hat man da doch am ende 2/0 dann kommt da doch null raus !

oder die hier :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to oo}~{\frac{3-x}{5x-1}} \end{eqnarray*}$

So ich würde sagen da kommt wieder - oo raus. Denn 3-x , ist dann ja irgendwas mit -oo und 5*oo-1 ist dann irgendwas mit oo =>also =>- oo/oo = oo ??

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4}~{(x^2-x+1)} \end{eqnarray*}$

Da müsste doch dann 13 rauskommen. Täusche ich mich ?

Das sind keine Hausaufgaben oder ähnliches, bald habe ich meine 1.Stunde Mathe LK [Ist das nicht peinlcih für mich Hammer

] und dann fangen wir bestimmt gleich mit Ableitungen an .

Also würde mich über jede Art von Hilfe freuen (auch gute Links oder weitere Aufgabenbeispiele) !

/// Edit : Nochmal schöner in Latex umgeändert Augenzwinkern

11.02.2007, 15:31

kiste

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Mal etwas schöner geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x^2 -1} = \infty \end{eqnarray*}$
Ist in der Tat "2/0" aber das gibt nicht 0, Teilen durch 0 ist böse Augenzwinkern

Rechne einmal ein paar Werte in der Nähe der 1 aus dann wirst die sehen warum es unendlich gibt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{3-x}{5x -1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}-1}{5 -\frac{1}{x}} = -\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
Einfach unendlich einsetzen und dann irgendwelche Rechenregeln zu erfinden ist falsch.
Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \infty - \infty, \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ usw. sind nicht definiert.

Dein dritter Grenzwert ist richtig, da die Funktionen stetig sind und der Wert definiert ist, kann man einfach den Wert einsetzen.

Hier noch eine Aufgabe für dich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{5x^5 - 6x^2 + 5}{27x^5-49x^4 + 5x^2} \end{eqnarray*}$

11.02.2007, 15:31

pseudo-nym

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RE: Verständnisprobleme bei Grenzwerten

Zitat:

Original von Baldessarini
Das Prinzip von Grenzwerten verstehe ich wirklich absolut ! Im Prinzip braucht man es nur, um zu erkennen , welche Steigung eine Funktion mit Kurven hat, denn das ist ja nicht so einfach nachlesbar.

Nein, dazu kann man den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ benutzen, aber das ist nicht das einzige wozu die Grenzwert Rechnung da ist.

Zitat:

Original von Baldessarini
Ich setze für x=1 ein, dann hat man da doch am ende 2/0 dann kommt da doch null raus !

AAAAAAAH, durch Null teilen ist verboten!

Beim zweiten Grenzwert solltest du x ausklammern und dann beachten
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} =0 \end{eqnarray*}$

der dritte Grenzwert stimmt.

Zitat:

Original von Baldessarini
Das sind keine Hausaufgaben oder ähnliches, bald habe ich meine 1.Stunde Mathe LK [Ist das nicht peinlcih für mich Hammer

] und dann fangen wir bestimmt gleich mit Ableitungen an .

Ich will dich ja nicht unter Druck setzen, aber bei uns im LK haben wir mit Integration angefangen, da war Ableiten vorrausgesetzt. (Hängt natürlich auch vom (Bundes-) Land ab.)

11.02.2007, 16:27

Baldessarini

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Sodele Leute ...erstmal riesen Dank für eure Mühe und Antworten smile

!

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}~{\frac{x^2+1}{x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Habe ich jetzt verstanden ... egal was man für x einsetzt es kommt immer ein anderer Wert raus und keine Tendenz in eine Richtung , deswegen ist die Lösung oo

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to oo}~{\frac{3-x}{5x-1}} \end{eqnarray*}$

Habe ich auch verstanden ... egal was man für x einsetzt , die Werte bewegen sich immer mehr auf 0,2 zu

3. hatte ich ja richtig

______

Gut ich denke das "Korsett" von Grenzwerten habe ich verstanden , jetzt schnüre ich die Fäden mal ein bisschen mehr zu [Mein Gott, ich hätte halt Deutsch LK nehmen müssen Big Laugh

)

Zitat:

Original von kiste

Dein dritter Grenzwert ist richtig, da die Funktionen stetig sind und der Wert definiert ist, kann man einfach den Wert einsetzen.

Hier noch eine Aufgabe für dich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{5x^5 - 6x^2 + 5}{27x^5-49x^4 + 5x^2} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das denn die Funktion ist "stetig" ?

Ok für deine Aufgabe würde ich als Lösung sagen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
Denn egal was ich eingebe , die Werte bewegen sich auf den Wert 0,2 zu. Aber hier hätte ich mal eine Frage dazu :

Das die Werte sich immer an 0,2 nähern habe ich durch einsetzen ausprobiert (da kam dann einmal 0,185... und 0,1800045 .... raus) Woher weiß ich jetzt ob die Werte sich 0,2 oder 0,19 bewegen ???
Vielleicht Etwas flopsig gestellt , aber vielleicht weißt du ja was ich meine ...

Zitat:

Original von pseudo-nym

Nein, dazu kann man den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ benutzen, aber das ist nicht das einzige wozu die Grenzwert Rechnung da ist.

[...]

Ich will dich ja nicht unter Druck setzen, aber bei uns im LK haben wir mit Integration angefangen, da war Ableiten vorrausgesetzt. (Hängt natürlich auch vom (Bundes-) Land ab.)

Diesen Grenzwert den du genannt hast ... ist das dann nicht für die Ableitung ?

Ja ich weiß bei uns mussten wir jetzt erst Orientierungskurse wählen (LK's für ein halbes Jahr) . Deswegen kommen auch verschiedene Klassen mit verschiedenen Kenntnissen zusammen .... und meine Klasse war ein bissel langsam Big Laugh

_______

Gut , überprüft mal bitte ob ich das hier richtig mache :

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to oo}~{\frac{5}{x}} \end{eqnarray*}$

Lösung : 0

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to oo}~{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Lösung : 0

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -oo}~{\frac{-2}{x}+1} \end{eqnarray*}$

Lösung : 1

4. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3}~{\frac{x^2-9}{x-3}} \end{eqnarray*}$

Lösung : 6

5. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to oo/-oo}~{\frac{1}{x}+2sin(x)} \end{eqnarray*}$

Für oo : 1 ??

Für -oo : 1 ??

Die Aufgabe finde ich ganz komisch ,da sich die Werte immer im Bereich 0,00 irgendwas bis 2 bewegen , aber ne richtige Tendenz erkenne ich da nicht.

Also im Prinzip kann man sagen ,die Grenzwerte müssen immer für x eingesetzt werden und dann muss man eine Art Tendenz erkennen.
Ich glaub ich verstehe es langsam *freu*

11.02.2007, 16:47

kiste

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Zu dem ersten nochmal:
die Tendenz ist gegen unendlich also schon in eine Richtung Augenzwinkern

Und zum zweiten:
Schau dir meine Umformung an, da steht bereits da warum es "gegen -0,2 geht"

Stetigkeit kannst du bei Wikipedia nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

Die Lösung meiner Aufgabe ist falsch, ein gutes Beispiel warum du es mathematisch machen solltest. Die Lösung ist 5/27 also ca. 0,185.
Überleg dir mal wie du den Bruch erweitern kannst so das du das direkt sehen kannst.

Zu deinen Aufgaben: 1-4 sind richtig,
5. ist falsch.
Das 1/x ist 0 aber 2sin(x) alterniert zwischen -2 und 2 es hat also keinen festen Wert gegen +/- unendlich deshalb existiert der Grenzwert nicht.

11.02.2007, 17:09

Baldessarini

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Hey kiste !

Deine Umformung bei der 2. Aufgabe habe ich garnicht verstanden ...sry
Du hast durch x geteilt , aber wie hast du das dann weggekürzt ...

Zitat:

Original von kiste

Die Lösung meiner Aufgabe ist falsch, ein gutes Beispiel warum du es mathematisch machen solltest. Die Lösung ist 5/27 also ca. 0,185.
Überleg dir mal wie du den Bruch erweitern kannst so das du das direkt sehen kannst.

Bei deiner Aufgabe wüsste ich auch nicht wie ich sinnvoll umformen könnte ... durch x teilen würde auch nichts bringen und durch eine Zahl auch nicht ... da fehlen mir die Kenntnise der Rechenregeln :/

Zitat:

Original von kiste

Zu deinen Aufgaben: 1-4 sind richtig,
5. ist falsch.
Das 1/x ist 0 aber 2sin(x) alterniert zwischen -2 und 2 es hat also keinen festen Wert gegen +/- unendlich deshalb existiert der Grenzwert nicht.

Ja es gibt keinen festen Wert , aber trotzdem gibt es doch die Tendenz zu oo und -oo oder ?

11.02.2007, 17:20

kiste

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Die Rechenregel ist das Erweitern eines Bruchs.
Die Umformung mit noch einem weiteren Schritt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{3-x}{5x -1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(3-x)\cdot \frac{1}{x}}{(5x-1)\cdot\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}-1}{5 -\frac{1}{x}} = -\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
Kannst du mit dieser Umformung jetzt meine Aufgabe lösen?

Das Denken mit der "Tendenz" solltest du dir wieder abgewöhnen, da können sich sehr schnell Fehler einschleichen.
In diesem Fall hat der Wert von sin(x) für x gegen unendlich einen unbestimmten Wert da man nicht weiß ob es -1, 1 oder irgendein Wert dazwischen ist. Deshalb kann man auch keinen genauen Wert für den Grenzwert angeben, sondern nur sagen es liegt in einem Bereich. Aber daraus folgt das der Grenzwert nicht existiert.

11.02.2007, 17:52

Baldessarini

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Ich verstehe die Rechenregeln , nur wie du es danach gekürzt hast verstehe ich nicht. Es gleibt am Ende ja nur $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ Wie das ? Wohinn sind $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hinn ? Die kann man doch miteinander garnicht kürzen ...

Wenn ich das jetzt alleine kürzen würde , würde ich folgendes machen

Das x lässt sich wegkürzen , also hat man da nur

$\begin{eqnarray*} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}-1}{5 -\frac{1}{x}}= lim_{x \to \infty} \frac{3-1}{5-1}= lim_{x \to \infty} \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

So hätte ich das jetzt gemacht ...

Ich weiß das es falsch ist, aber vielleicht kannst du mir noch sagen was ich beim Kürzen falschgemacht habe ... ich denke mir einfach immer
$\begin{eqnarray*} \frac{ {\frac{5}{x}+6} }{2+\frac{7}{x}} \end{eqnarray*}$

und da ja oben und unten x steht das man es wegkürzen kann ... oder ?

Du hast gesagt ich soll mir das mit der Tendenz abgewöhnen ... wie machst Du das denn eigentlcih immer wenn du eine GrenzwertAufgabe bekommst. Du setzt doch dann bestimmt auch verschiedene Werte ein und erkennst dann doch eine Art "Richtung in die die hingehen" ?

Das letzte mit dem sin hab ich jetzt verstanden ... nur wäre ich da nie selbst drauf gekommen Big Laugh

11.02.2007, 18:25

kiste

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Aus Summen kürzen nur die Dummen Augenzwinkern

Wenn du etwas aus einem Bruch kürzt muss es überall stehen nicht nur in einem Summanden.

die 3/x und -1/x fallen für x -> unendlich weg weil sie dann einfach 0 sind(Genauso wie in deiner 1. Aufgabe)

Mit ein bisschen Erfahrung sieht man den Grenzwert eigentl. sofort, und es gibt außerdem noch die Regeln von l'Hospital(dafür musst du aber auch böse Dinge wie Ableiten können Augenzwinkern

)

11.02.2007, 18:52

Baldessarini

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Ich glabs net aber ich verstehs

ok ich mache gerade die Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} \end{eqnarray*}$

Das blöde ist ja jetzt , dass 0 nicht im Nenner stehen darf. Also muss das h da unten weg. Das geht doch durch kürzen . Also hat man da nur noch :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (4+h) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} lim=4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?
Setzt man für die x-Werte eigentlich dann wirklich den Grenzwert selbst ein (in dem Fall jetzt 0) oder nur eine Zahl die da nach drann ist.
Du sagst mit der Zeit sieht man das , aber wie denn ? Was setzt man da denn immer für x im Kopf ein.

Oh man diese Grenzwerte bringen mich noch an meine Grenze LOL Hammer

Aber ich verstehs ja langsam immer besser ... ich hoffe diese Ableitung ist dann nicht so schwer ...

11.02.2007, 19:05

kiste

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Ja der Grenzwert ist richtig.
Du darfst den Wert gegen den es geht nur einsetzen wenn es keine Probleme macht, z.b. bei 1/0 bei 1/x für x-> 0 oder bei tan(x) und x -> pi/2 darf man nicht einfach einsetzen.
Dann musst du versuchen mit Rechenregeln auf den Grenzwert zu kommen bzw. herausfinden das kein Grenzwert existiert.

Man setzt später eigentlich kein nahen Werte ein um den Grenzwert zu bestimmen. Du weißt im Allg. welche Funktionen schneller wachsen usw. und kannst so den Grenzwert bestimmen, bzw. man kennt Regeln dazu.

11.02.2007, 19:07

derkoch

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Zitat:

Original von Baldessarini

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (4+h) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} lim=4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?

der wert 4 stimmt! Aber es ist eine sehr unglückliche Darstellung so wie es dort steht!

besser :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} (4+h)=4 \end{eqnarray*}$

11.02.2007, 19:26

Baldessarini

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Ok ich denke mal ich habe Grenzwerte verstanden ... hier und da haperts bestimmt noch , aber ich denke der Leitspruch "Übung macht den Meister" wird mir sicherlich weiterhelfen Freude

Vielen Vielen Dank für Eure Hilfe ! Das Forum ist einfach klasse Augenzwinkern

Wenn noch Etwas ist , werde ich mich einfach mit einem Beitrag melden . Jetzt ist erstmal Mathe-Pause und morgen gehts der Ableitung an den Kragen Big Laugh

[oder besser gesagt mir an den Kragen]

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