Zeigen oder widerlegen einer Ungleichung

02.12.2012, 16:48

markus.bertram

Zeigen oder widerlegen einer Ungleichung

Hallo an alle,

leider habe ich "genau" diese Aufgabe nirgends gefunden und bevor ich (mal wieder) etwas falsches abgebe, wovon ich gedacht habe, dass es richtig sei, wollte ich mal meine Lösung hier präsentieren und kritisch begutachten lassen. Häufig ist die Form bei meinen Beweisen falsch, also z.B. nicht eingeführte Variablen, Gleichheitszeichen, antstatt mit einem neuen Absatz anzufangen, usw.

Also, die Aufgabe lautet:
Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} } \leq 2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Meine Lösungsidee war vollständige Induktion (aufgrund des Summenzeichens, aber auch wegen der Ungleichung). Mein Beweis sieht wie folgt aus:

Anmerkung: Das [I.V.] in eckigen Klammern hinter dem Äquivalenzzeichen im Induktionsschritt verweist auf die Induktionsvoraussetzung.

Beh.: Die Aussage ist falsch!

Bew.: Durch vollständige Induktion nach n.
I.A.: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ *

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^1 \frac{1}{i^{2} } = \frac{1}{1^{2}} = 1 \leq 1 = 2-\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

I.V.: Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ *. Es gelte: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} } \leq 2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

I.S.: (n --> n+1)
Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^{2} } \leq 2 - \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^{2} } = (\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} }) + \frac{1}{(n+1)^{2}} \Leftrightarrow [I.V.] 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq 2-\frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^{2}}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)} + ((n+1)^{2})^{-1} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)} + n+1 \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das führt zum Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} n+1\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ falsch ist.

Somit ist die Aussage für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ *: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} } \leq 2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ falsch.

Danke schon mal im Voraus.

03.12.2012, 11:08

klarsoweit

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RE: Zeigen oder widerlegen einer Ungleichung

Zitat:

Original von markus.bertram
Beh.: Die Aussage ist falsch!

Ähh, willst du nicht zeigen, daß die Aussage wahr ist? verwirrt

Zitat:

Original von markus.bertram
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^{2} } = (\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} }) + \frac{1}{(n+1)^{2}} \Leftrightarrow [I.V.] 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq 2-\frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das ist irgendwie formaler Unsinn. Das Äquivalenzzeichen bedeutet, daß du zu jeder Zeit aus dem, was links davon steht, das folgern kannst, was rechts davon steht, und umgekehrt.

Du kannst allenfalls so folgern:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^{2} } = (\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} }) + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq [I.V.] 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

und in einem Kommentar noch ergänzen, daß nun noch zu zeigen ist, daß $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq 2 - \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von markus.bertram
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)} + ((n+1)^{2})^{-1} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)} + n+1 \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Erkläre mal, wie du von der oberen zur unteren Zeile kommst.

03.12.2012, 11:20

HAL 9000

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@markus.bertram

Mal abgesehen von dem schlimmen Verrechner ist auch etwas prinzipiell falsch an deiner Logik: Nur weil der Induktionsschritt eines Ungleichungsbeweises "nicht klappt", heißt das noch lange nicht, dass auch die zu beweisende Aussage falsch sein muss - siehe dieses Beispiel:

Versucht man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sqrt{n}-2 \end{eqnarray*}$ in der üblichen Tippel-Tappel-Tour zu beweisen, so benötigt man im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \stackrel{?}{\geq} 2\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ , die sich als falsch herausstellt - dennoch ist die zu beweisende Ungleichung richtig!!!

03.12.2012, 13:26

Jello Biafra

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Wie Dir inzwischen wohl klar ist, solltest Du eher versuchen die Aussage zu beweisen.
Dazu könntest Du erwägen folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 1{i^2}\leq\frac 1{i(i-1)},~i\geq 2 \end{eqnarray*}$

einzuwechseln um dann per Teleskopsummentrick den Sack zu zu machen.

03.12.2012, 17:42

markus.bertram

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von markus.bertram
Beh.: Die Aussage ist falsch!

Ähh, willst du nicht zeigen, daß die Aussage wahr ist? verwirrt

Ja, das war auch mein Ansatz. Jetzt hat sich ja, wie befürchtet, wieder gezeigt, dass ich da wieder einige Patzer drin habe, die letztendlich zum falschen Ergebnis geführt haben.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Erkläre mal, wie du von der oberen zur unteren Zeile kommst.

Ja, danke für den Hinweis. Ich habe 2 Potenzgesetze durcheinander gebracht Hammer

Allgemeinere Form ist ja diese: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} = \left(n^{2}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Da habe ich dann die Exponenten (fälschlicherweise) anstatt zu multiplizieren, addiert.

Die anderen Hinweise und Tipps nehme ich mir zu Herzen und setze mich gleich noch mal ran. Vielen Dank schon mal für eure Hilfe. Es hat sich jetzt wieder gezeigt, dass ich da so oft wie ein Ochse vor dem Berg stehe, aber ich denke, mit jedem Beweis, der korrigiert wird, kanns nur besser werden. Wenn ich in der Aufgabe Fortschritte gemacht habe, poste ich diese natürlich.

03.12.2012, 19:17

markus.bertram

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So, ich glaube, nun sollte alles etwas besser aussehen.

Ich mache mal ab diesem Schritt hier weiter, was klarsoweit anmerkte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^{2} } = (\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^{2} }) + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq [I.V.] 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun ist zu Zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq 2 - \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \leq 2 - \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{\left(n+1\right)} + \frac{1}{\left(n+1 \right)^{2} } \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{\left(n+1\right)^{2} }{\left(n+1\right) } + 1 \leq \frac{\left(n+1\right)^{2} }{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n + 2 \leq \frac{\left(n+1\right)^{2} }{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n+2 \leq \frac{n^{2}+2n+1 }{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n+2 \leq \frac{n^{2}}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n + 2 \leq n + 2 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und den letzten Schritt vielleicht auch noch, damit es ganz klar offensichtlich wird (ist der hier überhaupt noch nötig?):
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Brauche ich hier noch ein Abschlusssatz?

Ich hoffe, dass ich diesmal nichts verhauen habe und dass die Äquivalenzzeichen diesmal alle richtig gesetzt sind. Meine Routine ist was das Beweisen angeht noch sehr schlecht (1. Semester, Informatik), wie sich wieder herausgestellt hat.

Also bitte ich auch hier wieder um entsprechende Kritik und Anregungen. Mit dem Teleskopsummentrick bin ich leider noch nicht vertraut (habe im Skript für das Semester auch nichts dazu gefunden), daher habe ich es auf einem anderen Weg versucht Augenzwinkern

03.12.2012, 20:01

Jello Biafra

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Stimmt alles! Freude

Aber so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1} \frac 1{i^2} = \left(\sum_{i=1}^n \frac 1{i^2}\right) + \frac 1{(n+1)^{2}} \stackrel{IV}{\leq} 2 - \frac 1n + \frac 1{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2-\frac{(n+1)^2-n}{n(n+1)^2}=2-\frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2}\leq2-\frac{n^2+n}{n(n+1)^2}=2-\frac 1{n+1}. \end{eqnarray*}$

wär's kürzer und suggestiver.

03.12.2012, 20:10

Jello Biafra

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Ohne Induktion geht's übrigens so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac 1{i^2}\leq 1+\sum_{i=2}^n\frac 1{i(i-1)} = 1+\sum_{i=2}^n\left(\frac 1{i-1}-\frac 1i\right) = 1+\sum_{i=1}^{n-1}\frac 1i-\sum_{i=2}^n\frac 1i = 2 - \frac 1n. \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 01:04

markus.bertram

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Hey, super, danke für die Kritik und Anregungen. smile

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