Kartesisches Produkt Ringe und deren Einheitgruppe

02.12.2012, 17:57	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartesisches Produkt Ringe und deren Einheitgruppe Hallo zusammen, ich habe mal eine Frage bezüglich Ringe und der Einheitengruppe. Folgendes war gegeben: $\begin{eqnarray} (R_1, {\oplus}_1, {\otimes}_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (R_2, {\oplus}_2, {\otimes}_2) \end{eqnarray}$ sind Ringe mit dem kartesichen Produkt $\begin{eqnarray} R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ das wie folgt definiert ist $\begin{eqnarray} (x_1, x_2)+(y_1,y_2):=(x_1 {\oplus}_1 y_1 , x_2 {\oplus }_2 y_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_1, x_2) \cdot (y_1,y_2):=(x_1 {\otimes}_1 y_1 , x_2 {\otimes}_2 y_2) \end{eqnarray}$ In einer vorherigen Aufgabe, habe ich bewiesen, dass das kartesische Produkt hier wieder ein Ring ist. Die Aufgabe jetzt lautet: Zeigen Sie, dass die Einheitengruppe des Ringes $\begin{eqnarray} R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ gerade das kartesische Produkt der Einheitengruppen von $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ ist. Meine Idee: $\begin{eqnarray} (x_1, x_2) \cdot (y_1,y_2)=(x_1 {\otimes}_1 y_1 , x_2 {\otimes}_2 y_2)=(1_1, 1_2) \end{eqnarray}$ , denn für die Einheiten von $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x_1 \otimes_1 y_1=1_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \otimes_2 y_2=1_2 \end{eqnarray}$ Ist das der richtige Ansatz oder muss da noch mehr kommen?
02.12.2012, 19:20	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner einer Idee? Vielleicht nützt die nächste Aufgabe... Ich soll die Einheitgruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb Z /4 \mathbb Z \times \mathbb Z /5 \mathbb Z \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich konnte jetzt die Einheiten von Z/4Z bestimmen. Das sind {1,3}. Und die Einheiten von Z/5Z sind {1,2,3,4}.Sind die Einheiten richtig bestimmt? und ich hänge jetzt noch an der Bestimmung der Einheiten von $\begin{eqnarray} \mathbb Z /4 \mathbb Z \times \mathbb Z /5 \mathbb Z \end{eqnarray}$ .
03.12.2012, 09:21	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten morgen, hat wer vielleicht einen Tipp bezüglich meines Problems am Anfang oder für die Bestimmung der Einheiten?

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