Konvergenz2

02.12.2012, 18:09

Jack1

Konvergenz2

Meine Frage:
Hallo leute ich habe bei einer weiteren Aufgabe probleme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k!}{k^k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
keine

02.12.2012, 18:23

Jack1

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kann mir jemand tipps geben?

02.12.2012, 18:33

Nilradikal

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Ich habe mit dem Quotientenkriterium eine Lösung bekommen.

02.12.2012, 18:42

Jack1

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Ich hab jetzt das stehen:

k!*(k+1)^k*(k+1)/ k^k *(k+1)!

Wie gehe ich weiter vor?

02.12.2012, 18:45

Nilradikal

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kannst du das bitte mit Latex schreiben?

02.12.2012, 19:09

Jack1

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$\begin{eqnarray*} \frac{k!*(k+1)^k*(k+1)}{k^k *(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun weiter vor?

02.12.2012, 19:14

Nilradikal

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Wie bist du darauf gekommen? Mir scheint, du hast nicht richtig eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \left| \frac {(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} \cdot \frac {k^k}{k!}\right| \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 19:16

Jack1

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Wie gehe ich nach diesem Ausdruck weiter vor?

02.12.2012, 19:20

Nilradikal

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Fasse das Produkt / Bruch zusammen (kürzen, multiplizieren etc..

02.12.2012, 19:28

Jack1

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Ich hab das so vereinfacht . Wie gehe ich weiter vor?

02.12.2012, 19:30

Nilradikal

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Du kannst (k +1)! noch weiter kürzen (mit (k+1))

02.12.2012, 19:34

Jack1

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Dann hätte ich das stehen:

02.12.2012, 19:38

Nilradikal

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Sorry Ich kann das nicht richtig lesen, : $\begin{eqnarray*} \frac{k^k \cdot ??}{k \cdot ?? \cdot (k+1)^k} \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 19:43

Jack1

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So:

02.12.2012, 19:50

Nilradikal

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Wie kommst du auf das k im Nenner? Ich habe das nicht zu stehen.
Also : $\begin{eqnarray*} \frac {k^k}{(k+1)^k} \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 19:51

Jack1

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Wieso steht das nicht bei dir ?

02.12.2012, 19:54

Nilradikal

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Beschreib doch mal bitte was du genau gemachst hast um auf dieses Ergebnis zu kommen.
Also du kürzt( k +1)! mit (k+1) Was bleibt dann stehen, wenn du das gemacht hast

02.12.2012, 19:59

Jack1

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Nur die Fakültät bleibt stehen oder ?

02.12.2012, 20:07

Nilradikal

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Bitte aufschreiben Big Laugh

02.12.2012, 20:11

Jack1

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Ich hatte es doch bereits aufgeschrieben.

Oder sags mir was genau falsch ist.

02.12.2012, 20:12

Nilradikal

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$\begin{eqnarray*} \frac {(k+1)!}{k+1} = ? \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 20:55

Jack1

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Kürzt sich alles weg?

02.12.2012, 21:10

Nilradikal

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$\begin{eqnarray*} (k+1)! = (k+1) \cdot k \cdots \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Also was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{(k+1) \cdot k \cdots \cdot 2 \cdot 1}{ (k+1)} = ? \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 21:15

Jack1

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Dann bleibt nur ein k übrig oder ?

02.12.2012, 21:54

Nilradikal

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es bleibt k! übrig

02.12.2012, 23:06

Jack1

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Was für ein Bruch bleibt denn jetzt insgesamt übrig?

Irgendwie bin ich nun ein wenig durcheinander.

02.12.2012, 23:32

Nilradikal

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Es bleibt, wie ich weiter oben ausgerechnet hatte: $\begin{eqnarray*} \frac {k^k} {(k+1)^k} \end{eqnarray*}$
Ich muss gerade an etwas Anderem arbeiten, aber
schau mal hier rein: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Ist die selbe Aufgabe.

03.12.2012, 13:53

Jack1

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Kann ich diesen Ausdruck noch weiter kürzen?

03.12.2012, 14:03

FloTU

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \left(\frac{k+1}{k} \right)^{k} =\lim_{k \to \infty} \left(1+\frac{1}{k} \right)^{k}=e\Rightarrow div. \end{eqnarray*}$

vergleiche mal das ergebnis mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \left(\frac{k}{k+1} \right)^{k} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 14:21

Jello Biafra

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Zitat:

Original von FloTU
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \left(\frac{k+1}{k} \right)^{k} =\lim_{k \to \infty} \left(1+\frac{1}{k} \right)^{k}=e\Rightarrow div. \end{eqnarray*}$

Nein, diese Implikation ist falsch!

Im Gegenteil gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac 1e<1. \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 14:22

Jack1

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Wie kommst du auf das 1/e ?

03.12.2012, 14:28

Jello Biafra

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Wegen

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac n{n+1}\right)^n=\frac 1{\left(1+\frac 1n\right)^n}. \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 14:58

FloTU

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dann gilt für den limes e^-1 was kleiner 1 ist und somit konvergent.