Konvexität: Jensens Ungleichung |
| 02.12.2012, 19:15 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Konvexität: Jensens Ungleichung Eine Funktion f auf (a,b) -> R sei konvex, i.e. es gelte für alle x_0,x_1 aus (a,b) und t aus (0,1): Nun will ich Jensen's Ungleichung induktiv beweisen, das heisst beweisen dass für x_1,..x,_n aus (a,b) und 0 <= t_1 <= .. <= t_n <= 1 und Summe aller t's gleich 1 Folgendes gilt: Induktion wäre nach N. N= 1 (man greift auf die obere Eigenschaft der Konvexität zurück und setzt t = 1) sowie N = 2 sind klar (siehe ebenfalls oben). Nun steht im Folgenden für den Induktionsschluss von N nach N+1 folgendes im Skript: Aber warum ist dem so? |
||||||
| 02.12.2012, 19:57 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvexität: Jensens Ungleichung
also das sollte erstmal "<=" sein.
und das ist auch ziemlicher quatsch, der 2. teil wäre dann vllt ein mögl ind.anfang für N=2, keine ahnung was das soll. jedenfalls sollte das ziel im ind.schluss sein, das funktionsargument auf eine form zu bringen, dass man erst die konvexität ausnutzen kann um dann die ind.annahme zu verwenden. lg |
||||||
| 02.12.2012, 19:59 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, bei der ersten Ungleichung (sollte ja eben Ungleichung und nicht Gleichung sein) war das mein Tippfehler... Das zweite steht aber so da: http://www.math.ethz.ch/~struwe/Skripten...8.9-21-3-12.pdf S. 133 Ev. hab ichs zu sehr aus dem Zusammenhang gerissen? |
||||||
| 02.12.2012, 20:08 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
achso, ja das hätte mir vielleicht auffallen können, dass x_0 eigendlich nicht gegeben ist. also natürlich müsstest du noch x_0 definieren und zeigen, dass der summenausdruck dann diese form hat, also eben so wies im skript steht. am besten probierst dus aber mal selbst mit meinen tips, dann lernt man immer etwas mehr daraus. lg |
||||||
| 02.12.2012, 22:00 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, ich habs kapiert. Auf den Kunstgriff mit dem x_0 wäre ich aber (noch) nicht gekommen. Danke für die Hilfe. |
||||||
| 02.12.2012, 22:08 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
doch da wärst du schon drauf gekommen wenn du das versucht hättest auf die gewünschte form zu bringen (da kommt man dann zwangsläufig drauf) - dass man das dann x_0 nennt ist auch nur der "übersicht" wegen, dass man ohne probleme sieht dass man die konvexität anwenden darf, das ist aber nicht notwendig. lg |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 02.12.2012, 22:54 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich verstehe den Koeffizienten t_i/1-t_1 nicht. Die Summe aller t's muss ja gleich eins sein. Wäre nun zB t_1 = 0.2, t_2 = 0.4, t_3 = 0.3 und t_4 = 0.1 Dann wäre t_1 + sum t_i/1-t für i von 2 bis 4 ja grösser als 1..? |
||||||
| 03.12.2012, 16:46 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
richtig. hier hast du dann aber nur die glieder von index 2 bis n, x_1 hast du doch "abgespaltet". dass diese summe dann immernoch 1 ergibt sieht man so: lg |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
