Bijektivität

02.12.2012, 20:26

Matze9999

Bijektivität

Hallo,
ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R --> \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x--> \frac{1}{2}(exp(x) - exp(-x)) \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Zur Injektivität ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = f(x_{2}) \leftrightarrow \frac{1}{2} (exp(x_{1})- exp(x_{1})) = \frac{1}{2} (exp(x_{2})- exp(x_{2})) \end{eqnarray*}$ ist
Wende ich da nun die log-Fkt. an erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{1} = x_{2} + x_{2} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$

Meine Frage nun stimmt das so, wie ich das gemacht habe?
Wäre schön, wenn sich das mal einer anschauen würde, ich versuche mich in der Zeit daran die Surjektivität zu zeigen.

02.12.2012, 22:41

Christian_P

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Hallo

Deine Umformung ist nicht richtig.

forme vor dem Logarithmieren der beiden Seiten so um: $\begin{eqnarray*} e^x-\frac{1}{e^x}=\frac{e^{2x}-1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Logarithmengesetzte sauber anwenden und ein x wird "frei". Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \ln{(a\pm b)} \end{eqnarray*}$ kann man im Allgemeinen nicht vereinfachen.

Viele Grüße

02.12.2012, 22:48

mYthos

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Auf Summen und Differenzen lässt sich der Logarithmus nicht (!) anwenden.
Du musst den Schluss auf die Gleichheit der Argumente also auf einem anderen Weg machen.

mY+

03.12.2012, 09:54

Matze9999

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Danke erstmal für die Antworten.
Aus $\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x} -1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$ mache ich dann $\begin{eqnarray*} log(e^{2x}-1 ) - log(e^{x} ) \end{eqnarray*}$
Wie soll ich denn dann das $\begin{eqnarray*} log(e^{2x}-1 ) \end{eqnarray*}$ weitervereinfachen wenn ich $\begin{eqnarray*} \log{(a\pm b)} \end{eqnarray*}$ nicht weiter vereinfachen kann?

04.12.2012, 11:18

mYthos

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Ich schrieb ja auch, es ist ein anderer Weg einzuschlagen. Über den Logarithmus wird es hier wohl nicht gehen.

Ausserdem ist ein schwerer Fehler, wenn du meinst, dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} = -e^x \end{eqnarray*}$ ist(!)
_______________

Der Weg könnte etwa so gehen:

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - \frac 1 {e^{x_1}} = e^{x_2} - \frac 1 {e^{x_2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - e^{x_2} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - e^{x_2} = -\frac{e^{x_1} - e^{x_2}}{e^{x_1}e^{x_2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

05.12.2012, 12:23

Matze9999

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danke nochmal smile

Ich versuche jetzt nochmal Zusammenzufassen, was falsch und was richtig ist verwirrt

$\begin{eqnarray*} (exp(x) - exp(-x)) = \frac{e^{2x}-1}{e^x} = log(e^{2x}-1 ) - log(e^{x} ) \end{eqnarray*}$
Das Problem, was nun besteht ist allerdings, dass $\begin{eqnarray*} log(e^{2x}-1 ) \end{eqnarray*}$ nicht weitervereinfacht werden kann, da $\begin{eqnarray*} \ln{(a\pm b)} \end{eqnarray*}$ nicht vereinfacht werden kann.
Ist das soweit richtig? Ich weiß nämlich leider nicht worauf sich das hier bezieht

Zitat:

Ausserdem ist ein schwerer Fehler, wenn du meinst, dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} = -e^x \end{eqnarray*}$ ist(!)

Ich sehe nämlich nicht wo ich das behauptet hätte. Naja jedenfalls versuche ich mich jetzt mal an deinem Ansatz. Wäre auf jeden Fall gut, wenn du das oben geschriebene nochmal kommentieren könntest. smile

05.12.2012, 13:05

Matze9999

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muss das nicht eigentlich $\begin{eqnarray*} e^{x_1} - e^{x_2} = -\frac{e^{x_1} + e^{x_2}}{e^{x_1}e^{x_2}} \end{eqnarray*}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray*} -e^{x_2} \end{eqnarray*}$ im Zähler?
Aber selbst dann weiß ich nicht wie es weitergehen soll

05.12.2012, 16:06

mYthos

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Nein. Denn dann wären die Vorzeichen beider Summanden im Zähler gleich, was sie definitiv nicht sind.
Das Minus vor dem Bruchstrich dreht lediglich die Vorzeichen der beiden Summanden um.

Wenn du die (richtige) Gleichung noch etwas anders anschreibst, ist

$\begin{eqnarray*} (e^{x_1} - e^{x_2}) \cdot e^{(x_1 + x_2)} + (e^{x_1} - e^{x_2}) = 0 \end{eqnarray*}$

Und nach dem Ausklammern kriegst du die gewünschte einfache Beziehung zwischen x1 und x2 ... (der 2. Faktor links kann NICHT -1 werden)
__________________

Zum anderen: Behauptet hast du zwar direkt nichts, aber in etwa so getan. Wo ist denn bei dir das ursprüngliche Minus im Exponenten sonst hingekommen?

mY+

05.12.2012, 16:33

Matze9999

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Zitat:

Original von mYthos

Zum anderen: Behauptet hast du zwar direkt nichts, aber in etwa so getan. Wo ist denn bei dir das ursprüngliche Minus im Exponenten sonst hingekommen?

mY+

Ich glaube ich weiß jetzt, was du damit meinst. Du meinst wahrscheinlich wie ich von diesem hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x--> \frac{1}{2}(exp(x) - exp(-x)) \end{eqnarray*}$

auf dieses hier gekommen bin

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (exp(x_{1})- exp(x_{1})) = \frac{1}{2} (exp(x_{2})- exp(x_{2})) \end{eqnarray*}$

Dazu kann ich mich leider nur entschuldigen, hab mich da wohl beim abtippen verschrieben. Das darf natürlich nicht passieren. Sorry, das mir das nicht eher aufgefallen ist. Das muss natürlich dann auch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (exp(x_{1})- exp(-x_{1})) = \frac{1}{2} (exp(x_{2})- exp(-x_{2})) \end{eqnarray*}$ heißen.

---------------------------------------------

Allerdings ist für mich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - \frac 1 {e^{x_1}} = e^{x_2} - \frac 1 {e^{x_2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - e^{x_2} = -\frac{1}{e^{x_{2} } }+\frac{1}{e^{x_{1} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x_1} - e^{x_2} = -\frac{e^{x_{1} }+ e^{x_{2} } }{e^{x_{1} }*e^{x_{2} } } \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 18:42

Dopap

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für dich mag das so sein, für alle anderen aber nicht.

Das Minus gehört zum ersten Summanden im Zähler !

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