Grenzwert Funktionen Polynome

02.12.2012, 21:16	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Funktionen Polynome Hallo! Ich hab folgende Aufgabe: Berechne den Grenzwert der folgenden Funktion für $\begin{eqnarray} c(x)=\frac{pm(x)}{pn(x)} \end{eqnarray}$ Hier bezeichnet $\begin{eqnarray} p_{m}(x)=a_{0}+a_{1}x^1+...+a_{m}x^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_{n}(x)=b_{0}+b_{1}x^1+...+b_{n}x^n \end{eqnarray}$ Polynome vom Grad m bzw. n. Betrachte die Fälle n < m, n > m und n=m. Hier hab ich wirklich überhaupt keine Ahnung was ich da machen soll. Wie kann denn n < n und m > m sein? und dann soll n noch = m sein, das hieße ja dann n< n >n ?? Kann mir jemand bei nem Ansatz helfen?
02.12.2012, 21:22	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die höchste Potenz ist für den Grenzwert entscheidend. Teilt man diese im Nenner sowie im Zähler(das ist äquivalent zum Erweitern des Bruches), so streben fast alle Summanden gegen 0. Nun betrachte die Fälle, "Nennerpotenz">"Zählerpotenz" usw.
02.12.2012, 21:28	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
Die größte Potenz wäre doch dann $\begin{eqnarray} \frac{a_{0}}{b_{0}} \end{eqnarray}$ weil alles andere kleiner wäre? Richtig? Also ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{a_{0}}{b_{0}} \end{eqnarray}$ ??
02.12.2012, 21:37	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
a_0 und b_0 sind konstanten. Was sind denn jeweils die größten Potenzen von x, die im Nenner und Zähler auftauchen
02.12.2012, 21:40	IzeCube	Auf diesen Beitrag antworten »
m und n. Ach jetzt versteh ich auch das mit dem n<m , n>m und n=m Die Fälle sind getrennt zu betrachten! Hab ich glatt überlesen. Das heißt ich hab dann $\begin{eqnarray} \frac{x^m}{x^n} \end{eqnarray}$ Und jetzt?
02.12.2012, 21:51	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei jetzt n>m. Dann folgt, jetzt sehr ausführlich dargestellt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{a_0+a_1x+...+a_mx^m}{b_0+b_1x+...+b_nx^n}=\lim_{x \to \infty} \frac{(a_0+a_1x+...+a_mx^m)\frac{1}{x_n}}{(b_0+b_1x+...+b_nx^n)\frac{1}{x_n}}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a_0}{x_n}+\frac{a_1x}{x_n}+...+\frac{a_mx^m}{x_n}}{\frac{b_0}{x_n}+\frac{b_1x}{x_n}+...+\frac{b_nx^n}{x_n}}=\frac{0+0+...+0}{0+0+...+b_n}=\frac{0}{b_n}=0 \end{eqnarray}$ Die andern beide Fälle lassen sich analog berechnen.
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