Äquivalenzrelation

02.12.2012, 22:58

XyZman

Äquivalenzrelation

$\begin{eqnarray*} R = { ((a1,a2),(b1,b2)) e MxM , a1b2 =b1a2} \end{eqnarray*}$

Hallo,
ich soll zeigen das es sich hier um eine Äquivalenzrelation handelt.
Angefangen habe ich mit der reflexiven Eigenschaft.
Denn die gilt ja wenn $\begin{eqnarray*} a1*a2=a2*a1 \end{eqnarray*}$ .
Mit Werten versehen stimmt die Gleichheit natürlich.
Doch reicht es so die Reflexivität zu zeigen ?

Symmetrie wäre dann $\begin{eqnarray*} a1*b2=b1*a2 \end{eqnarray*}$ oder ?

lg
Micha

07.12.2012, 14:20

1nstinct

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RE: Äquivalenzrelation
Hallo,

Ich versuche mal deine Aufgabenstellung widerzugeben:

$\begin{eqnarray*} R=\left\{(a_1,a_2),(b_1,b_2)\in M\times M, a_1\cdot b_2=b_1\cdot a_2\right\} \end{eqnarray*}$

Falls das stimmt, fangen wir mal mit der Reflexivität an( hast du ja bereits gelöst):

Unsere Verknüpfung nennen ich mal $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \in R \end{eqnarray*}$ .

z.z: $\begin{eqnarray*} x*x \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x_1\cdot x_2=x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x*x \end{eqnarray*}$

Nun kommen wir zur Symmetrie:

Sei dazu $\begin{eqnarray*} x,y\in R \end{eqnarray*}$ .

z.z: Aus $\begin{eqnarray*} x*y \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} y*x \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x*y\Rightarrow x_1\cdot y_2=y_1\cdot x_2 \Rightarrow .... \end{eqnarray*}$

Zur Transistivität musst du folgendes zeigen:

Aus x*y und y*z folgt x*z.

MfG

Edit: Gehört das nicht eigendlich in die Lineare Algebra?

07.12.2012, 19:33

Mazze

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Zitat:

Edit: Gehört das nicht eigendlich in die Lineare Algebra?

Naja, das mit der Einordnung ist nicht immer ganz eindeutig. Äquivalenzrelationen behandelt man ja mit unter auch in Analysis. Aber es ist definitiv nicht Numerik. Daher verschoben Augenzwinkern

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