Frage zu Unterräumekriterium

03.12.2012, 11:21

Paul21

Frage zu Unterräumekriterium

Ich habe ma eine Frage zur Anwenung der Unterräumekriterien.
Die sind ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} 1. U \neq {} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. \forall a,b \in U : a+b \in U \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition)
$\begin{eqnarray*} 3. \forall c,d \in U : cd \in U \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)

Wobei man ja Kriterium 2 und 3 auch zusammenfassen kann oder?
Also wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in U , \forall c,d \in B : ac + db \in U \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
Weil in unserm Skript steht das so zusammengefasst da.

So nun zu den Anwendungsfällen.
Wie weise ich das erste Kriterium bei:

$\begin{eqnarray*} {(x, y, z)^{T} \in \mathbb R 3 | x + y + z = 1} \end{eqnarray*}$

Also ih hätte jetzt zuerst mal den Nullvektor überprüft, denn der muss ja auch im U enthalten sein.
Habe ich damit das erste Kriterium bewiesen?

Auf den Fall hier hätten wir ja:

$\begin{eqnarray*} {(0, 0, 0)^{T} \in \mathbb R 3 |0 + 0 + 0 = 1} \end{eqnarray*}$

Damit wäre ja schon bewiesen, dass es sich nicht um einen Untervektorraum handelt. Also muss ich das 2. bzw 3. Kriterium nichtmehr überprüfen oder?
Aber was hat es mit diesem hoch T auf sich?

03.12.2012, 11:36

klarsoweit

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RE: Frage zu Unterräumekriterium

Zitat:

Original von Paul21
Wobei man ja Kriterium 2 und 3 auch zusammenfassen kann oder?
Also wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in U , \forall c,d \in B : ac + db \in U \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
Weil in unserm Skript steht das so zusammengefasst da.

Ja, das kann man so machen.

Zitat:

Original von Paul21
Auf den Fall hier hätten wir ja:

$\begin{eqnarray*} {(0, 0, 0)^{T} \in \mathbb R 3 |0 + 0 + 0 = 1} \end{eqnarray*}$

Damit wäre ja schon bewiesen, dass es sich nicht um einen Untervektorraum handelt. Also muss ich das 2. bzw 3. Kriterium nichtmehr überprüfen oder?

Genau. Einmal Durchfallen reicht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Paul21
Aber was hat es mit diesem hoch T auf sich?

Das "T" steht für "transponiert". Damit spart man sich das Untereinanderschreiben der Komponenten bei einem Vektor. smile

03.12.2012, 11:50

Paul211

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RE: Frage zu Unterräumekriterium
Also habe ich mit dem einsetzen den Nullvektors schon Kriterium 1 abgearbeitet?

und wenn ich jetzt

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)^{T} \in \mathbb R 3 | x²=y² \end{eqnarray*}$

habe, dann hätte es ja das erste Kriterium erfüllt, da ich durch einsetzen den Nullvektors

$\begin{eqnarray*} (0,0,0)^{T} \in \mathbb R 3 | 0²=0² \end{eqnarray*}$

habe.

Wäre bei

$\begin{eqnarray*} (2t,-t,\sqrt{2} t)^{T} \in \mathbb R 3 | t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch das erste Kriterium erfüllt?
Ich meine eigentlich ja, denn wenn ich den 0 Vektor einsetze, dann kommt ja auch ein Wert raus, der Element von R ist.

03.12.2012, 13:10

klarsoweit

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RE: Frage zu Unterräumekriterium
Ich glaube, hier liegt ein Mißverständnis vor. Kriterium 1 besagt, daß U nicht leer ist. Das hat mit dem Nullvektor überhaupt nichts zu tun. Daß der Nullvektor ein Element von U sein muß, ist in den Kriterien nicht direkt enthalten, sondern folgt aus Kriterium 2.

Wenn du also feststellst, daß der Nullvektor in U nicht enthalten ist, dann ist das Thema "Unterraum" schon erledigt. Umgekehrt kannst du aber nichts sagen, wenn der Nullvektor ein Element von U ist.

03.12.2012, 13:17

Paul2111

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RE: Frage zu Unterräumekriterium
ok jetzt habe ich es denk ich verstanden. smile

Aber dennoch müssten meine beiden Ausführungen stimmen oder?

03.12.2012, 14:12

klarsoweit

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RE: Frage zu Unterräumekriterium
OK, ja, damit hast du gezeigt, daß der Unterraum nicht leer ist. Das ist ja auch eher unspektakulär. Interessant wird es mit den beiden anderen Kriterien.

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