Potenzreihe mit vorgegebenen Konvergenzbereich

03.12.2012, 13:46

FloTU

Potenzreihe mit vorgegebenen Konvergenzbereich

Hallo

Es sei p,q Element R und p<q jetzt soll eine Potenzreihe angegeben werdend deren Konvergenzbereich genau (p,q) ist.

Leider hab ich nicht wirklich hier einen Ansatzpunkt wie ich anfangen soll.

Hab mir mal überlegt das der Konvergenzintervall schon mal so aussehen muss:

$\begin{eqnarray*} ]x_{0}-p,x_{0}+q[ \end{eqnarray*}$

wie komme ich denn jetzt weiter ?

03.12.2012, 14:08

klarsoweit

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RE: Potenzreihe mit vorgegebenen Konvergenzbereich

Zitat:

Original von FloTU
Hab mir mal überlegt das der Konvergenzintervall schon mal so aussehen muss:

$\begin{eqnarray*} ]x_{0}-p,x_{0}+q[ \end{eqnarray*}$

Nee, das Konvergenzintervall soll eben (p, q) sein und nicht das, was du da angegeben hast.

03.12.2012, 14:12

FloTU

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aber so ist doch das Konvergenzintervall definiert ?

03.12.2012, 14:17

klarsoweit

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Ich halte mich strikt an die Defintion. Das Konvergenzintervall enthält die Menge der x, für die Potenzreihe konvergiert. Das soll nun das Intervall (p, q) sein. Du aber läßt von irgendwo ein x_0 vom Himmen purzeln und machst ein völlig anderes Intervall daraus.

03.12.2012, 14:37

FloTU

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Ok jetzt nochmal überlegt.

$\begin{eqnarray*} x_{0}-R=p ; x_{0}+R=q \Rightarrow R=\frac{q-p}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{a_{k} }{a_{k+1} } |=\frac{p-q}{2} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{a_{k} }{a_{k+1} } |=\frac{p-q}{2} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{a_{k} }{a_{k+1} } |= \frac{q-p}{2} \end{eqnarray*}$

OK, jetzt hast du den Konvergenzradius. Fehlt noch das x_0 und du kannst mit der Erstellung der Potenzreihe beginnen.

03.12.2012, 15:00

FloTU

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$\begin{eqnarray*} x_{0}=\frac{p+q}{2} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 15:02

FloTU

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Wie bekomme ich das jetzt hin das es eine Nullfolge wird ?

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{q-p}{2} \right)^k*x \end{eqnarray*}$

ich suche ja jetzt hier ein x mit k so das ich eine Nullfolge habe das es konvergiert. Aber die Randpunkte nicht im Konvergenzbereich sind.

03.12.2012, 15:31

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, wo dein Problem ist. Du mußt doch nur noch die Potenzreihe hinschreiben. Z. B.:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x - x_0}{R} \right)^k \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 15:32

FloTU

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woher weiß ich den jetzt das meine Reihe konvergiert ?

Wie kommst du denn außerdem auf deine genannte Formel für die Potenzreihe ?
Und passt das dann so mit der Potenzreihe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{q-p}\right)^k\left(x-\left(\frac{p+q}{2} \right) \right)^k \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloTU
Wie kommst du denn außerdem auf deine genannte Formel für die Potenzreihe ?

Das ist doch im Grunde nur die geometrische Reihe. Und wann konvergiert diese?

Zitat:

Original von FloTU
Und passt das dann so mit der Potenzreihe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{q-p}\right)^k\left(x-\left(\frac{p+q}{2} \right) \right)^k \end{eqnarray*}$

Durchaus. Ist ja "nur" in "meine" Potenzreihe eingesetzt. smile

03.12.2012, 16:09

FloTU

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Die geometrische Reihe konvergiert wenn der Ausdruck in der Klammer <1 ist. Aber was sagt mir das jetzt in diesem Fall ?

04.12.2012, 09:12

klarsoweit

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Du könntest mal nachpüfen, für welche x unsere so schön konstruierte Potenzreihe das erfüllt.

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