Basis des reellen Vektorraums - Seite 2

04.12.2012, 17:55

Mystic

Eben... Wir haben also die Darstellung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a b_1 + b b_2 + c b_3 + d b_4 \end{eqnarray*}$

Und indem wir obige von dir berechnete Linearkombinationen für die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ einsetzen, erhält man nun eine ähnliche - wenn auch etwas kompliziertere - Linearkombination in den $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ...Wie sieht diese aus? (Diese Berechnung ist bereits die Lösung des entsprechenden Aufgabenteils!)

04.12.2012, 18:06

dela86

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also für die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ setze ich das ein was vorher ausgerechnet wurde z.B. für $\begin{eqnarray*} b_1 = \frac{1}{4} v_4 \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 18:08

Mystic

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Ja, du musst alle diese Darstellungen einsetzen und das Ganze noch so vereinfachen, dass eine Linearkombination in den $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ draus wird...

04.12.2012, 18:32

dela86

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$\begin{eqnarray*} v_1 c + \frac{1}{2} v_2 (d-c) + \frac{1}{3} v_3 (b-d) + \frac{1}{4} v_4 (a-b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 18:43

Mystic

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Genau!

Und da ein Erzeugendensystem mit 4 Elementen in einem Vektorraum der Dimension 4 autamatisch minimal sein muss, ist $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$ mithin auch eine Basis...

04.12.2012, 18:52

dela86

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Ok! Danke! woran merke ich denn wenns es keine Basis wäre. Wenn wir z.B. mehr oder weniger Elemente als 4 hätten?

04.12.2012, 19:04

dela86

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ich seh grad wenn ich $\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ berechne bekomme ich ja automatisch schon das was wir da gerade berechnet haben einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \end{eqnarray*}$ .....usw.

04.12.2012, 19:05

Mystic

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Richtig... Alle Basen in einem Vektrorraum sind nämlich prinzipiell gleichmächtig...

04.12.2012, 19:09

Mystic

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Zitat:

Original von dela86
ich seh grad wenn ich $\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ berechne bekomme ich ja automatisch schon das was wir da gerade berechnet haben einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \end{eqnarray*}$ .....usw.

Ja, das war ja auch der Zweck der ganzen Sache... Big Laugh