4 Kegel und Kugel

03.12.2012, 14:21

Iridon

4 Kegel und Kugel

Meine Frage:
Vier kongruente Kegel mit dem Grundkreisradius 3 cm und der Höhe 4 cm stehen auf einer Horizontalebene, wobei sich die Grundkreise so berühren,dass ihre Zentren die Ecken eines Quadrates bilden. Eine Kugel mit dem Radius 2,5 cm wird von oben zwischen die Kegel gesetzt. Wie hoch kommt ihr tiefster Punkt über die Ebene zu liegen? Die gesuchte Grösse sei X.

Meine Ideen:
Seitenlänge des Quadrates, die die Kegel bilden a=4*3=12. Länge der Diagonale d^2=a^2+a^2=12^2+12^2=2*12^2 folgt d=12*Wurzel 2.
Ort wo die Kegelseite die Horizontalebene berührt bis Senkrechte des Kugelmittelpunkts bis Horizontalebene = 3*(Wurzel2 -1). Meine Lösung: (5/2-X)/(3*(Wurzel2-1))=5/(5/2) ergibt X= 1/2*(17-12*Wurzel2) cm=0,014719 cm.
Im Aufgabenbuch steht als Lösung X=0,0098 cm. Leider hatte ich Schwierigkeiten beim erstellen einer Abbildung. Ich habe Winfunktion Mathematik Plus 20.

03.12.2012, 16:03

riwe

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RE: 4 Kegel und Kugel
ich denke, die lösung im lehrbuch ist korrekt.
ich erhalte

$\begin{eqnarray*} d=h(1-\sqrt{2}+\frac{r\cdot h}{R\sqrt{R^2+h^2}})-r(1-\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}})\approx 0.009812 \end{eqnarray*}$

die bezeichner sollten klar sein

edit: $\begin{eqnarray*} d=\frac{17-12\sqrt{2}}{\color{red}3} \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 18:40

Iridon

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RE: 4 Kegel und Kugel
Ich habe eine Menge trigonometrischer Beziehungen, bringe sie aber nicht recht in Beziehung zur gesuchten Grösse X (bzw. d. ).
Die Aufgabe stammt übrigens aus der "Aufgabensammlung Analysis" von Heinz Bachmann, SABE Verlagsinstitut für Lehrmittel zürich.

04.12.2012, 18:50

riwe

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RE: 4 Kegel und Kugel
es happert ja "eh" nur im nenner
ohne deine rechnung zu kennen, tu ich mir da schwer unglücklich

ich stelle einmal das bilderl herein und warte auf deine reaktion

04.12.2012, 20:17

Iridon

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RE: 4 Kegel und Kugel
Die beiden gelben Winkel sind identisch (Stufenwinkel).
cos alpha =(r-y)/r folgt y=r*(1-cos alpha).
tan alpha = h/R = (h-y)/x folgt x=R*(h-r*(1-cos alpha))/h.

04.12.2012, 22:41

riwe

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RE: 4 Kegel und Kugel

Zitat:

Original von Iridon
Die beiden gelben Winkel sind identisch (Stufenwinkel).
cos alpha =(r-y)/r folgt y=r*(1-cos alpha).
tan alpha = h/R = (h-y)/x folgt x=R*(h-r*(1-cos alpha))/h.

ohne LATEX schau ich mir das nicht an geschockt

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