Primfaktorzerlegung, Beweis |
| 03.12.2012, 15:11 | Induktion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Primfaktorzerlegung, Beweis Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt aus Primzahlen darstellen. Dies muss ich beweisen, mit vollständiger Induktion. Nun scheint Jede Zahl als Produkt darstellbar zu sein, z.b. aus den Faktoren 1 und der Zahl selbst (24 = 1 * 24). n = 1 keine Primzahl zu sein und ein "leeres Produkt" zu sein ? n = 2 eine Primzahl, die, wie jede andere Primzahl auch, wohl ein "Produkt aus einem Faktor" zu sein scheint? Induktionsanfang: n = 2 ist eine Primzahl mit Primfaktorzerlegung (PFZ), s. oben. Induktionsschluss: n -> n+1: 1. Fall "n+1" ist eine Primzahl -> n+1 ist ein Produkt aus einem Faktor, nämlich n+1 2. Fall "n+1" ist angenommen keine Primzahl: Dann lässt sie sich als Produkt zweier Zahlen darstellen (wie oben erwähnt). Dann ist n+1 = a*b mit und 
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| 04.12.2012, 08:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Primfaktorzerlegung, Beweis Der Induktionsbeweis geht hier etwas anders, als du vielleicht gewohnt bist: Induktionsanfang ist n=1, das sich als "leeres Produkt" von Primzahlen darstellen lässt, wie du ja selbst bereits erwähnt hast... Für den Induktionsschluss musst du voraussetzen, dass die Behauptung für alle positiven ganzen Zahlen < n bereits bewiesen ist und damit zeigen, dass sie dann auch für n gilt ... Versuch's damit nochmals... |
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| 04.12.2012, 15:43 | Induktion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Primfaktorzerlegung, Beweis
Danke soweit erstmal, Na gut, also IA: n=1 => 1 lässt sich als leeres Produkt von Primzahlen darstellen. Es existiert eine Primfaktorzerlegung. [U]IS: Angenommen, jede positive ganze Zahl x < n besitzt eine Primfaktorzerlegung. Dann gilt auch, dass x = n eine Primfaktorzerlegung besitzt. Kurz: x < n -> x < (n+1) = Dabei gilt: x = p*m , . 1. Fall) m = 1 -> x = p, x ist also eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass die Primfaktorzerlegung ein Produkt mit einem Faktor ist. 2. Fall) m > 1. Dabei muss auch gelten m < n. d.h. 1 < m < n. Wegen der Annahme "Jede .. Zahl x < n besitzt eine PFZ" muss auch m eine PFZ besitzen. Daher: m = p1 * ... * Pk. Dann ist x = p * p1 * ... * pk. Damit ist x ein Produkt aus Primzahlen. |
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| 04.12.2012, 18:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Primfaktorzerlegung, Beweis Ich muss gestehen, so 100% seh ich jetzt nicht durch, bei dem was du schreibst, aber ich halte es für möglich, dass du das Richtige meinst. Der Induktionsanfang mit n=1, welches ein "leeres" Produkt von Primzahlen ist, war richtig. Sei also n>1 und die Behauptung für alle positiven ganzen Zahlen < n bereits gezeigt, Dann ist n entweder Primzahl und damit die Behauptung trivialerweise richtig, oder es gilt n=a*b für zwei ganze Zahlen . Nach IA besitzen dann a und b eine Darstellung als Produkt von Primzahlen und indem man diese in n=a*b einsetzt erhält man dann eine ebensolche auch für n. So in etwa könnte der Beweis in einem Lehrbuch der Zahlentheorie stehen... 
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