Tensorproduktraum, Vektoren welche kein Produkt sind

03.12.2012, 15:12	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorproduktraum, Vektoren welche kein Produkt sind Hi Leute, Gegeben seien 2 endlich dim. Vektorraeume $\begin{eqnarray} V_1 \;\text{und}\; V_2 \end{eqnarray}$ Nun wird ein Tensorprodukt gebildet und ein neuer Raum V gebildet, also: $\begin{eqnarray} V= V_1 \otimes V_2 \end{eqnarray}$ Eine Basis von V ist ja dann das Tensorprokut von den Basen von V_1 und V_2. Jetzt steht in meinem Buch ja dass es Elemente in V gibt, welche nicht ein Tensorprodukt von Elementen aus V_1 und V_2 sind. Das verstehe ich aber nicht ganz. Kann mir da jemand ein Gegenbeispiel nennen. Viele Gruesse, chris
03.12.2012, 16:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die Elemente des Produktraums, die du nicht als direkte Produkte von Elementen aus $\begin{align} V_1,V_2 \end{align}$ schreiben kannst. Beispielsweise sei $\begin{align} B_1 =\{v_{1},v_{2},v_{3}\} \end{align}$ Basis von $\begin{align} V_1 \end{align}$ und $\begin{align} B_2 =\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\} \end{align}$ Basis von $\begin{align} V_2 \end{align}$ . Dann kannst du das Element $\begin{align} x =a \cdot v_{1}\otimes w_{3} + b\cdot v_{2}\otimes w_{4} \end{align}$ nicht als direktes Produkt schreiben. Das ginge nur, wenn man die Entwicklungskoeffizienten $\begin{align} c_{ik} \end{align}$ des Vektors nach der Basis $\begin{align} \{v_i\otimes w_k, 1\le i\le 3, 1\le k\le 4\} \end{align}$ schreiben kann als $\begin{eqnarray} c_{ik} = a_i b_k, \forall i,k \end{eqnarray}$ Dies wäre dann der Fall, wenn man den Vektor $\begin{align} x \end{align}$ schreiben könnte als $\begin{eqnarray} x = \sum_{i,k}c_{ik}\cdot v_i\otimes w_k = (\sum_i a_i \cdot v_i)\otimes(\sum_k b_k\cdot w_k) \end{eqnarray}$ was nicht immer geht. Dies sind dann in der Physik (ich nehme an, du kommst aus der Ecke) die verschränkten Zustände.
03.12.2012, 17:45	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap jetzt seh ich es. In deinem Beispiel waere ja dann: $\begin{eqnarray} c_{12} =0 \end{eqnarray}$ waehrend $\begin{eqnarray} a_1 \cdot b_2 \ne 0 \end{eqnarray}$ Daher stimmts nicht. Danke! Jap ich komm aus der unbeliebten Physikerecke^^. Danke.

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