Quadratische Komponente eines Polynoms

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Komponente eines Polynoms
Hallo zusammen. Etwas ratlos sitze ich vor folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die quadratischen Komponenten des Polynoms


Leider habe ich bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, da ich nicht weiß, was man unter quadratischen Komponenten versteht. Weder in der Vorlesung noch im Skript ist darüber was zu finden und auch im Internet werde ich da nicht fündig...
Vielleicht kann mir ja jemand von euch sagen, was man darunter versteht...?
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Spontan würde ich jetzt mal behaupten, dass nach allen möglichen Zerlegungen des Polynoms in quadratische Faktoren gefragt ist, bzw. sämtliche Möglichkeiten, quadratische Faktoren abszuspalten. Verstehe ich das richtig?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so sollte das gemeint sein... Beginn aber mal damit die Linearfaktoren abzuspalten, indem du nach Nullstellen von f(x) mod 5 suchst...
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Damit habe ich mal angefangen. 2 und 3 sind NST des Polynoms (einfach).

Zweimalige Polynomdivision liefert das Polynom


sowie die quadratische Komponente

Das Polynom von oben besitzt nun keine Nullstellen mehr.

Mein nächster Ansatz wäre Koeffizientenvergleich gewesen, also





Das scheint jetzt ein wenig in ein Ratespiel auszuarten, oder?

Ich habe mich jetzt durch die Gleichungen gekämpft und mal geschaut, was passiert, wenn ist. Dann müsste alles passen, denn



War das jetzt Zufall, dass ich direkt richtig geraten habe? Oder ist die Zerlegung nicht eindeutig und es gibt noch andere Möglichkeiten?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alcardaalanda
War das jetzt Zufall, dass ich direkt richtig geraten habe? Oder ist die Zerlegung nicht eindeutig und es gibt noch andere Möglichkeiten?

Naja, das war jetzt schon mehr Zufall, zumal ja die Gleichungen oben nur mod 5 gelten... Ein gewisser Hinweis darauf, dass



mod 5 in zwei gleiche Polynome vom Grad 2 zerfällt ist jedoch die Symmetrie der Koeffizienten des Ausgangspolynoms bez. der Mitte...

Rein rechnerisch muss f(x) aber eine Nullstele in haben, wenn es mod 5 nullstellenfrei ist, d.h., der



muss mod 5 nichttrivial sein und tatsächlich ist er genau x²+x+1...

Und ja, die Zerlegung ist (bis auf von 0 verschiedenen konstante Faktoren, wie üblich) natürlich eindeutig...
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Ja, die Zerlegung ist natürlich eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten. (Habe das Ganze nämlich auch nochmal gerechnet, indem ich alle Koeffizienten gleich 4 gewählt habe). Dann sollte die Aufgabe wohl erledigt sein.

Was ich nochmal fragen wollte:
Wieso muss das Polynom eine Nullstelle in haben? Und wieso betrachtest du den ggt mit dem Polynom . Konnte da leider in meinem Skript nichts zu finden.

Ich dachte, ich würde den konstruieren, indem ich vom ausgehe und ein irreduzibles Polynom vom Grad 2 herausteile. Dann habe ich eben meine Elemente 1,2,3,4,x,x+1 usw. bis 4x+4.

Vielleicht kannst du das ja noch ein bisschen erläutern?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du kannst ja irgendein über irreduzibles Polynom g(x) vom Grad 2 nehmen, um damit zu konstruieren, also z.B. auch g(x)=x²+x+1... Nach Konstruktion besitzt dieser Körper aber dann eine Nullstelle von g(x), nämlich die Nebenklasse x+I mit I=(g(x))...Es gibt aber (bis auf Isomorphie) nur einen Körper mit 25 Elementen, d.h., in einem Körper mit 25 Elementen zerfallen prinzipiell alle Polynome mit Koeffizienten im Primkörper vom Grad höchstens 2 in Linearfaktoren...
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das leuchtet schon ein. Wobei mich immer noch irritiert, weshalb du das Polynom zur Hand nimmst...

Nochmal ein kleines Beispiel meinerseits, damit ich weiß, ob ich alles verinnerlicht habe:

Wenn ich dich richtig verstanden habe, müsste dann z.b. auch eine NST von besitzen. Für ergibt sich eingesetzt , d.h. ist NST von ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alcardaalanda
Wenn ich dich richtig verstanden habe, müsste dann z.b. auch eine NST von besitzen. Für ergibt sich eingesetzt , d.h. ist NST von ?

Edit: Sorry, hier stand zuerst Unsinn... Ja, x und x² (=x+1) sind die Nullstellen...

Und zu Obigem: Die multiplikative Gruppe des Körpers hat 24 Elemente, daher betrachtete ich oben das Polynom , das alle Elemente dieser Gruppe als Nullstellen hat...
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