R als Q-VR ?

03.12.2012, 19:22	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
R als Q-VR ? Hi Leute Folgendes ist meine Aufgabe: Fassen sie $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}-Vektorraum \end{eqnarray}$ auf. Gibt es eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} span(Bild(f)) = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Meine Vermutung ist nein. Denn: Bild(f) ist abzählbar und Q auch. Meine Vermutung ist, dass dann auch alle endlichen Linearkombinationen von Bild von f über Q abzählbar sein müssen. Ich weiß nur nicht, wie ich das zeigen soll. Ich kann die endlichen Linearkombination mit n Komponenten ja mit Q^n identifizieren. Q^n ist abzählbar, das weiß ich. Aber mein Problem dabei ist, dass dieses n ja, obwohl es endlich ist, nicht irgendwie beschränkt ist. Oder ist am Ende gar $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ abzählbar ? Ihr merkt, ich tappe da ein bisschen im Dunkeln Kann mir jemand helfen? Ich bin mir auch garnicht sicher, ob der Ansatz überhaupt richtig ist. Wir haben bisher fast noch nichts zu abzählbarkeit und überabzählbarkeit gemacht und auch nur in Analysis und nicht in LA (wo jetzt die Aufgabe kam). Gruß, Guppi
04.12.2012, 13:50	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R als Q-VR ? Ich denke, dass dein Argument mit der Kardinalität schon passend ist. Deine Idee etwas anders formuliert: Wäre $\begin{eqnarray} \langle f(\mathbb N) \rangle = \mathbb R \end{eqnarray}$ , so wäre dies ein abzählbares Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Je nachdem, was in der Vorlesung so dran war, bist du hier schon fertig (je zwei Basen eines Vektorraums haben dieselbe Kardinalität und eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem). Wenn noch nirgends festgestellt wurde, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ keine abzählbare $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ Basis besitzt, kannst du dich ja nochmal melden. Grüße
05.12.2012, 12:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Heute haben wir behandelt, dass dieser Vektorraum keine abzählbar Basis hat. Damit und mit deinem Tipp ist's dann ja getan Dankeschön !

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